9. Найдите расстояние между точками и , и координаты середины отрезка АВ.
10. На отрезке АВ найдите точку, которая делит его в отношении 5 : 2, считая от точки А, если А(4; –3; –1), В(–8; 6; –5).
11. Центр тяжести однородного стержня находится в точке С(2; –2; 4), а один из его концов в точке А(–1; 1; 3). Определить координаты другого конца стержня.
12. На плоскости дан правильный треугольник со стороной 1 и полярная система координат, в которой полюсом служит одна из вершин треугольника, а полярный луч проходит по его стороне. Найдите полярные координаты вершин треугольника.
13. Используя формулу Муавра, найдите степень комплексного числа 
, и найдите его тригонометрическую и алгебраическую форму записи.
14. Разложите степенной двучлен 
на неприводимые множители над полем рациональных чисел.
15. Вычислите проекцию вектора 
на вектор 
, если 
.
16. Сила 
приложена к точке М(4; –2; 3). Найдите момент этой силы относительно точки А(3; 2; –1).
17. Вычислите смешанное произведение векторов правоориентированного ортонормированного базиса. Ответ обоснуйте.
18. Найдите нормальный вектор прямой 
.
19. Установить, лежит ли точка М(1; –3) и начало координат в одной или в разных полуплоскостях относительно прямой: 
.
20. Докажите, что прямая 
принадлежит пучку 
.
21. Найдите уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости Oxz, и отстоящей от неё на расстоянии равном 4.
22. Найдите расстояние между параллельными плоскостями 
и 
.
23. Определите взаимное расположение прямых, заданных каноническими уравнениями: 
и 
, и найдите угол между ними.
24. Составьте уравнение пучка плоскостей, в котором лежат плоскости 
и 
.
25. Найдите директрисы эллипса 
.
26. Найдите каноническое уравнение гиперболы, если известны расстояние между директрисами и эксцентриситет: 
.
27. Постройте чертеж параболы 
.
Тест АГ-1. Вариант 10
1. Найдите число нулей на конце числа 100!
2. Крестьянка несла на базар яйца. Проезжавший всадник толкнул её, и все яйца разбились. На вопрос, сколько было яиц, она сказала: «Когда я раскладывала яйца по два, одно оказалось лишним. То же самое случилось, когда я раскладывала их по 3, по 4, по 5 и по 6. А вот когда я их разложила по 7, остатка не оказалось». Сколько яиц было у крестьянки?
3. Выпишите пять чисел из класса вычетов числа 2941 по модулю 17.
4. Определите количество решений сравнения 
.
5. Решите уравнение 
.
6. Разложите многочлен 
на линейные множители.
7. В равнобочной трапеции ABCD нижнее основание AD в два раза больше верхнего ВС, MN – средняя линия. Выразите вектор 
через векторы 
и 
.
8. Найдите отношение, в котором точка С делит отрезок АВ координатной оси Ох, считая от точки А, если А(2), В(–5), С(–7).