Четные и нечетные функции
Функция 
называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Например, 
— четные функции.
Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например, 
— нечетные функции.
Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.
Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задания:
1. Проверьте, является ли функция 
четной (нечетной).
Область определения функции 
Проверим, является ли 
чётной или нечётной. Если 
функция четна. Если 
функция нечетна.
— значит, функция нечётная, её график симметричен относительно нуля.
2. Проверьте, является ли функция 
четной (нечетной)
Область определения: все действительные числа.
— чётная, как сумма двух чётных функций.
Её график симметричен относительно оси y.
3. Проверьте, является ли функция 
четной (нечетной).
Область определения функции симметрична относительно нуля.
— чётная, её график симметричен относительно оси y.
Периодические функции
С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, 
— периодические функции.
Обратная функция
Функция — это действие над переменной. Но что будет, если сделать действие — и обратное действие? Открыть дверь и закрыть дверь. Включить свет и выключить свет. Будет то же, что и было раньше, верно? Так и с функциями.
Функции f(x) и g(x) называются взаимно-обратными, если f(g(x)) = x.
Например, 
при 
Сделали действие (возвели 
в квадрат). Сделали обратное действие (извлекли квадратный корень). И получили то, что и было раньше, то есть переменную .
А вот 
. Подумайте, почему это так.
Другой пример взаимно-обратных функций: показательная и логарифмическая. Помните основное логарифмическое тождество: 
для 
. Для положительных х функции 
и 
являются взаимно-обратными.
Еще один пример взаимно-обратных функций:
и 
при 
Вспомним определение функции. Числовая функция y = f(x) — это такое соответствие между двумя числовыми множествами A и B, при котором каждому числу x ∈ A отвечает одно-единственное число y ∈ B. Множество A называется при этом областью определения функции, множество B — областью значений.
Пусть соответствие f является взаимно-однозначным:
Тогда существует функция g, которая действует в обратную сторону: каждому числу y ∈ B она ставит в соответствие одно-единственное число x ∈ A, такое, что f(x) = y:
Функция g называется обратной к функции f. Точно так же и функция f будет обратной к функции g.
Если мы возьмём какое-либо число x ∈ A и подействуем на него функцией f, то получим число y = f(x) ∈ B. Теперь на полученное число y подействуем функцией g. Куда попадём? Правильно, вернёмся к исходному числу x. Это можно записать так:
| (1) |
Последовательное применение двух взаимно-обратных действий возвращает нас в исходную точку. Как и в жизни: сначала открыли дверь, а потом совершили обратное действие — закрыли дверь; в итоге вернулись к начальной ситуации.
Так, если возвести число 3 в степень x, а затем совершить обратное действие — взять от полученного числа 3x логарифм по основанию 3 — мы вернёмся к исходному числу x:
Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой у = x.
То, что для функции является областью определения, для обратной функции будет областью значений.
