Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и . Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .
Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве 
. В качестве множества можно взять отрезок 
, интервал 
, объединение промежутков или всю числовую прямую.
Функция 
возрастает на множестве , если для любых 
и 
, принадлежащих множеству , из неравенства 
следует неравенство 
.
Иными словами, чем больше 
, тем больше 
, то есть график идет вправо и вверх.
Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство 
.
Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.
На нашем рисунке функция 
возрастает на промежутке 
и убывает на промежутках 
и 
.
Определим, что такое точки максимума и минимума функции.
Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.
На нашем рисунке 
— точка максимума.
Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».
На нашем рисунке 
— точка минимума.
Точка 
— граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и 
на нашем графике не может быть точкой минимума.
Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это и .
А что делать, если нужно найти, например, минимум функции 
на отрезке 
? В данном случае ответ: 
. Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.
Аналогично, максимум нашей функции равен 
. Он достигается в точке .
Можно сказать, что экстремумы функции равны и 
.
Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.
В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке 
равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно 
. Оно достигается в левом конце отрезка.
В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.