13 R 3 Векторное произведение векторов
Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:
1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах 
Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k
i х j = k, j х k = i, k х i = j.
Докажем, например, что iхj=k.
1) k^i, k^j;
2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;
3) векторы i , j и k образуют правую тройку
15 Плоскость в пространстве
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
Прямая в пространстве может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; (3.2)
2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.
Вектор a называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:
x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. (3.5)
Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:
От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система
равносильна системе
такая прямая перпендикулярна к оси Ох.
Система
равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.