3 Определитель Квадратной матрицы. Свойства.
Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле: 
где М1k - определитель матрицы (детерминант), полученной из исходной матрицы вычеркиванием первой строки и k - oго столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Первая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя матрицы по первому столбцу:
Вообще говоря, определитель матрицы может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:
Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число М1k называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.
Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Свойство 1. Определитель квадратной матрицы не изменяется при её транспонировании:
Доказательство свойства 1 для квадратных матриц 2 и 3 порядков проводится по единой схеме. Приведём доказательство для квадратной матрицы 2-го порядка. Непосредственная проверка доказывает данное свойство.
Свойство 2. Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то её <#146#>определитель] равен нулю.
Свойство 2 непосредственно вытекает из определения определителя.
Свойство 3. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.
Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.
Свойство 5. Если каждый элемент i-й строки (столбца) матрицы A представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен 
, где элементы матриц B и C, за исключением элементов i-й строки (столбца), совпадают с соответствующими элементами матрицы A. A в i-х строках (столбцах) матриц B и C стоят упомянутые первые и вторые слагаемые соответственно.
Отметим некоторые следствия, непосредственно вытекающие из перечисленных 5 основных свойств определителя.
5 Теоремы Крамера. формулы Крамера.
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = Di/D, где
D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi. Di = 
Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем) 
с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде 
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство: 
7 Матричные уравнения: АХ=В и ХА=В
Матричные уравнения могут иметь вид:
АХ = В, ХА = В, АХВ = С,
где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.
Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.
Например, чтобы найти матрицу Х из уравнения АХ = В, необходимо умножить это уравнение на А-1 слева и справа.
Тогда: 