5.5. Реактивная мощность катушки индуктивности

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 12

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

5.5.1. Общие сведения

Когда катушка индуктивности подключена к переменному синусоидальному напряжению, в ней возникает синусоидальный ток, отстающий по фазе от напряжения на 90^о (рис. 5.5.1).

Изменение во времени мгновенной мощности, потребляемой в катушке, может быть представлено на графике (рис. 5.5.1) путем перемножения мгновенных значений тока i и напряжения u. Положительная полуволна кривой мощности равнозначна подведению энергии к катушке. Во время отрицательной полуволны катушка отдает запасенную ранее энергию магнитного поля. В идеальной катушке потерь активной мощности нет. В действительности же возвращаемая энергия всегда меньше потребляемой из-за потерь энергии в активном сопротивлении катушки.

Рис. 5.5.1

В идеальной катушке (при R=0) график мощности p( t) представляет собой синусоиду двойной частоты (см. рис. 5.5.1) с амплитудой

Q_L = U_Lm I_Lm/2 = U_L I_L.

Это значение является максимальной мощностью, потребляемой или отдаваемой идеальной катушкой индуктивности. Она называется индуктивной реактивной мощностью.

Средняя (активная) мощность, потребляемая такой катушкой, равна нулю.

5.5.2. Экспериментальная часть

Задание

Выведите кривые тока и напряжения катушки на экран виртуального осциллографа, перенесите их на график и постройте кривую изменения мгновенных значений мощности перемножением мгновенных значений напряжения и тока.

Порядок выполнения эксперимента

· Соберите цепь согласно схеме (рис. 5.5.2), подсоедините к ней регулируемый источник синусоидального напряжения с параметрами: U=5…7B и f = 200 Гц. В качестве индуктивности с малым активным сопротивлением используйте катушку трансформатора 300 витков, вставив между подковами разъемного сердечника полоски бумаги в один слой (немагнитный зазор).

Рис. 5.5.2

· Включите виртуальные приборы V0, A1 и осциллограф.

· «Подключите» два входа осциллографа к приборам V0 и A1, а остальные отключите.

· Установите параметры развёртки осциллографа так, чтобы на экране было изображение примерно одного-двух периодов напряжения и тока.

· Включите блок дополнительных приборов, выберите из меню приборы «Активная мощность» и «Реактивная мощность» и подключите их к V1 и A1. Запишите значения реактивной мощности Q_L и активной P. Убедитесь, что P << Q_L.

· Занесите данные осциллографирования напряжения и тока в катушке в табл. 5.5.1 соответственно указанным в ней моментам времени, выполните вычисления мгновенных значений реактивной мощности.

Таблица 5.5.1

· Перенесите данные табл. 5.5.1 на график (рис. 5.5.3).

Рис. 5.5.3

· По графику p(t) определите максимальную возвращаемую мощность (реактивную мощность)

Q_L= (Р_макс – Р_мин) / 2 =

· Сравните эту мощность с мощностью, измеренной варметром:

Q_L= …

6. Цепи синусоидального тока с резисторами, конденсаторами и катушками индуктивности

Эксперименты данного раздела касаются взаимодействия резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности при переменном синусоидальном напряжении.

Цель состоит в измерении и расчете токов, напряжений и их фазовых сдвигов, также как и эквивалентных параметров цепей при параллельном и последовательном соединении резисторов, конденсаторов и катушек.

Действующие значения и фазы соответствующих величин могут быть показаны на векторных диаграммах или на осциллограммах.

На векторной диаграмме каждая синусоидальная функция времени (ток или напряжение) представляется вектором, длина которого соответствует в выбранном масштабе амплитуде или действующему значению, а направление определяется начальной фазой, отсчитываемой от выбранного начала отсчета углов. Например, напряжение u = U_m sin ( w t+ y) изображается вектором длиной U_m или U_m/Ö2, расположенным под углом y к горизонтали. Векторные изображения синусоидальных величин в дальнейшем будут подчеркиваться.

6.1. Последовательное соединение резистора и конденсатора

6.1.1. Общие сведения

Когда к цепи (рис. 6.1.1) с последовательным соединением резистора и конденсатора подается переменное синусоидальное напряжение, один и тот же синусоидальный ток имеет место в обоих компонентах цепи.

Рис. 6.1.1

Между напряжениями U _R, U _C и U существуют фазовые сдвиги, обусловленные емкостным реактивным сопротивлением X_C конденсатора. Они могут быть представлены с помощью векторной диаграммы напряжений (рис. 6.1.2

Рис. 6.1.2

Фазовый сдвиг между током I и напряжением на резисторе U _R отсутствует, тогда как сдвиг между этим током и падением напряжения на конденсаторе U _C равен -90⁰ (т.е. ток опережает напряжение на 90⁰). При этом сдвиг между полным напряжением цепи U и током I определяется соотношением между сопротивлениями X_C и R.

Если каждую сторону треугольника напряжений разделить на ток, то получим треугольник сопротивлений (рис.6.1.13). В треугольнике сопротивлений Z представляет собой так называемое полное сопротивление цепи.

Рис. 6.1.3

Из-за фазового сдвига между током и напряжением в цепях, подобных данной, простое арифметическое сложение действующих или амплитудных значений напряжений на отдельных элементах цепи невозможно. Невозможно и сложение разнородных (активных и реактивных) сопротивлений. Однако, в векторной форме

U = U _R + U _C.

Действующее значение полного напряжения цепи, как следует из векторной диаграммы

= Z × I

Полное сопротивление цепи

= U ¤ I

Активное сопротивление цепи

R = Z × cos j

Емкостное реактивное сопротивление цепи

X_C = Z × sin j

Угол сдвига фаз

j = arctg (- U_C ¤ U_R ) = arctg (-Х _C ¤ R)

6.1.2. Экспериментальная часть

Задание

Для цепи с последовательным соединением резистора и конденсатора измерьте и вычислите действующие значения падений напряжения на резисторе U_R и конденсаторе U_C, ток I, угол сдвига фаз j, полное сопротивление цепи Z и емкостное реактивное сопротивление X_C и активной сопротивление R.

Порядок выполнения работы

· Соберите цепь согласно схеме (рис. 6.1.4), подсоедините регулируемый источник синусоидального напряжения и установите его параметры: U = 5 В, f = 1 кГц.

Рис. 6.1.4

· Выполните мультиметрами или виртуальными приборами измерения действующих значений тока и напряжений, указанных в табл. 6.1.1. При измерениях напряжений подключайте мультиметр или канал V0 коннектора к зажимам C-E, C-D, D-E:

Таблица 6.1.1.

· Вычислите:

Фазовый угол

j = arctg ( U_C ¤ U_R) =

Полное сопротивление цепи

Z = U ¤ I =

Активное сопротивление цепи

R = Z × cos j

Емкостное реактивное сопротивление цепи

X_C = Z × sin j

· Если вы работаете с виртуальными приборами, то измерьте с помощью блока «Приборы II» R, j, X_C, Z и запишите их значения также в таблицу 6.1.1 под рассчитанными величинами. Сравните результаты.

· Выберите масштабы и постройте векторную диаграмму напряжений (рис. 6.1.5) и треугольник сопротивлений (рис. 6.1.6).

Рис. 6.1.5 Рис. 6.1.6

6.2. Параллельное соединение резистора и конденсатора

6.2.1. Общие сведения

Когда к цепи (рис. 6.2.1) с параллельным соединением резистора и конденсатора подается переменное синусоидальное напряжение, одно и то же напряжение приложено к обоим компонентам цепи.

Рис. 6.2.1

Общий ток цепи I разветвляется на ток в конденсаторе I _C (емкостная составляющая общего тока) и ток в резисторе I _R (активная составляющая).

Между токами I, I _C и I _R существуют фазовые сдвиги, обусловленные емкостным реактивным сопротивлением X_C конденсатора. Они могут быть представлены с помощью векторной диаграммы токов (рис. 6.2.2).

Рис. 6.2.2	Рис. 6.2.3

Фазовый сдвиг между напряжением U цепи и током в резисторе I _R отсутствует, тогда как между этим напряжением и током в конденсаторе I _C равен –90⁰ (т.е. ток опережает напряжение на 90⁰). При этом сдвиг между полным током Iи напряжением U цепи определяется соотношением между проводимостями B_C и G. Разделив каждую сторону треугольника токов на напряжение, получим треугольник проводимостей (рис. 6.2.3).

В треугольнике проводимостей G=1/ R, B_C=1/ X_C, а Y представляет собой так называемую полную проводимость цепи в См, тогда как G – активная, а B_C – реактивная (емкостная) проводимости.

Из-за фазового сдвига между током и напряжением в цепях, подобных данной, простое арифметическое сложение действующих или амплитудных токов в параллельных ветвях невозможно. Но в векторной форме:I = I _R + I _C.

Расчет ведется по следующим формулам, вытекающим из векторной диаграммы и треугольника проводимости:

Действующее значение полного тока цепи

; I = U ¤ Z = UY.

Полная проводимость цепи

; Y = I ¤ U = 1/ Z ,

где Z - полное сопротивление цепи.

Угол сдвига фаз

j = arctg ( I _C ¤ I_R) = arctg ( B_C ¤ G).

Активная и реактивная проводимости

G = Y cosj; B_C = Y sinj.

6.2.2. Экспериментальная часть

Задание

Для цепи с параллельным соединением резистора и конденсатора измерьте действующие значения тока в резисторе I_R и конденсаторе I _C, полный ток I и вычислите угол сдвига фаз j, полное сопротивление цепи Z и емкостную реактивную проводимость B_C.

Порядок выполнения работы

· Соберите цепь согласно схеме (рис. 6.2.4), подсоедините регулируемый источник синусоидального напряжения и установите его параметры: U = 5 В, f = 1 кГц.

Рис. 6.2.4

· Выполните измерения U, I, I_C, I_R и занесите результаты в табл. 6.2.1. Если измерения производите виртуальными приборами, то измерьте также R, j, X_C, Z.

Таблица 6.2.1

· Вычислите и запишите в таблицу:

Фазовый угол

j = arctg (I _C ¤ I _R) =

Активные проводимость цепи и сопротивление цепи

G = I_R ¤ U ; R = U ¤ I_R.

Емкостные реактивные проводимость и сопротивление цепи

B_C = I_C ¤ U ; X_C = U ¤ I_C.

Полные проводимость и сопротивление цепи

; Z = 1 ¤ Ö Y.

· Сравните результаты вычислений с результатами виртуальных измерений (если они есть).

· Постройте векторную диаграмму токов (рис. 6.2.5) и треугольник проводимостей (рис. 6.2.6).

Рис. 6.2.5 Рис. 6.2.6

6.3. Последовательное соединение резистора и катушки индуктивности

6.3.1. Общие сведения

Когда к цепи (рис. 6.3.1) с последовательным соединением резистора и катушки индуктивности подается переменное синусоидальное напряжение, один и тот же синусоидальный ток имеет место в обоих компонентах цепи.

Рис. 6.3.1

Между напряжениями U _R, U _L и U существуют фазовые сдвиги, обусловленные индуктивным реактивным сопротивлением X_L катушки. Они могут быть представлены с помощью векторной диаграммы напряжений (рис. 6.3.2).

Рис. 6.3.2	Рис. 6.3.3

Фазовый сдвиг между током I и напряжением на резисторе U _R отсутствует, тогда как сдвиг между этим током и падением напряжения U _L на катушке индуктивности равен 90⁰ (ток отстает от напряжения). При этом сдвиг между полным напряжением U цепи и током определяется соотношением между сопротивлениями X_L и R. Разделив все стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений (рис. 6.3.3), в котором Z представляет собой так называемое полное сопротивление цепи.

Из-за фазового сдвига между током и напряжением в цепях, подобных данной, простое арифметическое сложение напряжений на отдельных элементах как в последовательной чисто резистивной цепи, невозможно. Только в векторной форме U = U _R + U _L. Расчет ведется по следующим формулам, вытекающим из векторной диаграммы и треугольника сопротивлений.

Действующее значение полного напряжения цепи

U = Z × I

Полное сопротивление цепи

;

Z = U ¤ I

Активное сопротивление цепи

R = Z × cos j

Индуктивное реактивное сопротивление цепи

X_L = Z × sin j

Угол сдвига фаз

j = arctg (Х _L ¤ R)

6.3.2. Экспериментальная часть

Задание

Для цепи с последовательным соединением резистора и катушки индуктивности измерьте действующие значения падений напряжения на резисторе U_R и катушке U_L и ток I. Вычислите фазовый угол j, полное сопротивление цепи Z, индуктивное реактивное сопротивление X_L и фазовый сдвиг между полным напряжением цепи U и падением напряжения на катушке U_L. Активным сопротивлением катушки ввиду его малой величины можно при этом пренебречь.

Порядок выполнения работы

· Соберите цепь согласно схеме (рис. 6.3.4), подсоедините регулируемый источник синусоидального напряжения и установите его параметры: U = 5 В, f = 200 Гц. В качестве индуктивности с малым активным сопротивлением используйте катушку трансформатора 300 витков, вставив между подковами разъемного сердечника полоски бумаги в один слой (немагнитный зазор).

Рис. 6.3.4

· Выполните измерения тока и напряжений, указанных в табл. 6.3.1. Если измерения производятся виртуальными приборами, то измерьте также R, j, X_L, Z.

Таблица 6.3.1.

Вычислите j = arctg ( U_L ¤ R), Z = U ¤ I, X_L = U_L ¤ I, занесите результаты вычислений в табл. 6.3.1 и сравните с результатами виртуальных измерений, если они есть.

· Выберите масштабы и постройте векторную диаграмму напряжений (рис. 6.3.5) и треугольник сопротивлений (рис. 6.3.6).

Рис. 6.3.5 Рис. 6.3.6

6.4. Параллельное соединение резистора и катушки индуктивности

6.4.1. Общие сведения

Когда к цепи (рис. 6.4.1) с параллельным соединением резистора и катушки подается переменное синусоидальное напряжение, одно и то же напряжение приложено к обоим компонентам цепи.

Рис. 6.4.1

Общий ток цепи I разветвляется на ток в катушке I_L (индуктивная составляющая общего тока) и ток в резисторе I_R (активная составляющая).

Между токами I, I _L и I _R существуют фазовые сдвиги, обусловленные индуктивным реактивным сопротивлением X_L катушки. Они могут быть представлены с помощью векторной диаграммы токов (рис. 6.4.2).

Рис. 6.4.2	Рис. 6.4.3

Фазовый сдвиг между напряжением U цепи и током в резисторе I _R отсутствует, тогда как ток в катушке I _L всегда отстает от напряжения цепи (или тока в резисторе I_R) на 90⁰. При этом сдвиг между полным током I и напряжением цепи U определяется соотношением между проводимостями B_L и G.

Разделив каждую сторону треугольника токов на напряжение, получим треугольник проводимостей (рис. 6.4.3), в котором Y представляет собой так называемую полную проводимость цепи, G – активную, а B_L – реактивную (индуктивную) проводимости.

Из-за фазового сдвига между током и напряжением в цепях, подобных данной, простое арифметическое сложение действующих или амплитудных значений токов в параллельных ветвях, как в параллельной чисто резистивной цепи, невозможно. Только в векторной форме I = I _R + I _L. Расчет ведется по следующим формулам:

Действующее значение полного тока цепи

,

I = U ¤ Z = UY .

Полная проводимость цепи

,

Y = 1 ¤ Z ,

где Z - полное сопротивление цепи.

Угол сдвига фаз

j = arctg (I _L ¤ I_R) = arctg (B_L ¤ G).

Активное сопротивление цепи

G = Y × cos j\

Реактивное сопротивление цепи

B = Y × sin j.

6.4.2. Экспериментальная часть

Задание

Для цепи с параллельным соединением резистора и катушки индуктивности измерьте действующие значения тока в резисторе I_R и катушке I_L, полный ток I и вычислите угол сдвига фаз j, полное сопротивление цепи Z и индуктивную реактивную проводимость B_L.

Порядок выполнения работы

· Соберите цепь согласно схеме (рис. 6.4.4), подсоедините регулируемый источник синусоидального напряжения и установите его параметры: U = 5 В, f = 200 Гц. В качестве индуктивности с малым активным сопротивлением используйте катушку трансформатора 300 витков, вставив между подковами разъемного сердечника полоски бумаги в один слой (немагнитный зазор).

Рис. 6.4.4

· Выполните измерения U, I, I_L, I_R и занесите результаты в табл. 6.4.1. Если измерения производятся виртуальными приборами, то измерьте также R, j, X_L, Z и вычислите G = 1/ R, B_L = 1/ X_L и Y = 1/ Z. Занесите эти результаты в строку «виртуальные измерения» табл. 6.4.1.

Таблица 6.4.1.

· Вычислите j = arctg (I _L ¤ I _R ); Y = I ¤ U; G = I_R ¤ U ; B_L = I_L ¤ U.

· Занесите результаты вычислений в таблицу и сравните с результатами измерений виртуальными приборами, если они есть.

· Выберите масштаб и постройте векторную диаграмму токов (рис. 6.4.5) и треугольник проводимостей (рис. 6.4.6).

Рис. 6.4.5 Рис. 6.4.6

6.5. Последовательное соединение конденсатора и катушки индуктивности. Понятие о резонансе напряжений

6.5.1. Общие сведения

Когда по цепи (рис. 6.5.1) с последовательным соединением конденсатора и катушки индуктивности протекает один и тот же синусоидальный ток I, напряжение на конденсаторе U _C отстает от тока I на 90⁰, а напряжение на катушке индуктивности U _L опережает ток на 90⁰. Эти напряжения находятся в противофазе (повернуты относительно друг друга на 180⁰).

Рис. 6.5.1

Когда одно из напряжений больше другого, цепь оказывается либо преимущественно индуктивной (рис. 6.5.2), либо преимущественно емкостной (рис. 6.5.3). Если напряжения U _L и U_С имеют одинаковые значения и компенсируют друг друга, то суммарное напряжение на участке цепи L – C оказывается равным нулю. Остается только небольшая составляющая напряжения на активном сопротивлении катушки и проводов. Такое явление называется резонансом напряжений (рис. 6.5.4).

Рис. 6.5.2	Рис. 6.5.3	Рис. 6.5.4

При резонансе напряжений реактивное сопротивление цепи

X = X_L – X_C

оказывается равным нулю. При заданных значениях L и C резонанс может быть получен путем изменения частоты.

Поскольку X_L = w L, а X_C = 1 / w C, то резонансная частота w₀ может быть определена из уравнения:

w₀ L – 1 / w₀ C = 0,

откуда

и .

Полное сопротивление цепи при резонансе оказывается равным небольшому активному сопротивлению катушки, поэтому ток в цепи совпадает по фазе с напряжением и может оказаться довольно большим даже при маленьком приложенном напряжении. При этом напряжения U_L и U_C могут существенно (в десятки раз!) превышать приложенное напряжение.

6.5.2. Экспериментальная часть

Задание

Для цепи с последовательным соединением конденсатора и катушки индуктивности измерьте действующие значения тока I и напряжений U, U_C, U_L при w = w₀, w< w₀ и w> w₀. Постройте векторные диаграммы.

Порядок выполнения работы

· Соберите цепь согласно схеме (рис. 6.5.5), подсоедините регулируемый источник синусоидального напряжения и установите напряжение на его входе 2 В и частоту 500 Гц. В качестве индуктивности с малым активным сопротивлением используйте катушку трансформатора 300 витков, вставив между подковами разъемного сердечника полоски бумаги в один слой (немагнитный зазор).

Рис. 6.5.5

· Изменяя частоту приложенного напряжения, добейтесь резонанса по максимальному току. Для точной настройки по максимуму тока необходимо поддерживать неизменным напряжение на входе цепи. При измерениях виртуальными приборами резонанс настраивается по переходу через ноль угла сдвига фаз между входными напряжением и током. Тогда нет необходимости поддерживать входное напряжение неизменным.

· Произведите измерения и запишите в табл. 6.5.1 результаты измерений при резонансе f= f₀ при f₁ » 0,75f₀ и f₂ »1,25f₀.

Таблица 6.5.1

· Постройте в одинаковом масштабе векторные диаграммы на рис. 6.5.6 для каждого из рассмотренных случаев.

Рис. 6.5.6

6.6. Параллельное соединение конденсатора и катушки индуктивности.
Понятие о резонансе токов

6.6.1. Общие сведения

Когда к цепи (рис. 6.6.1) с параллельным соединением конденсатора и катушки индуктивности подается переменное синусоидальное напряжение U, одно и то же напряжение приложено к обоим элементам цепи.

Рис. 6.6.1

Общий ток цепи I разветвляется на ток в конденсаторе I _C (емкостная составляющая общего тока) и ток в катушке I _L (индуктивная составляющая общего тока), причем ток I _L отстает от напряжения U на 90⁰, а I _C опережает на 90⁰.

Токи I _C и I _L имеют противоположные фазы (180⁰) и в зависимости от их величин уравновешивают друг друга полностью или частично. Они могут быть представлены с помощью векторных диаграмм токов (рис. 6.6.2 - 4).

Когда I _C = I _L и общий ток цепи равен нулю, имеет место резонанс токов (векторная диаграмма рис. 6.6.2)

Рис. 6.6.2	Рис. 6.6.3	Рис. 6.6.4

Когда I_C > I_L, т.е. преобладает ток конденсатора, общий ток цепи I является по характеру емкостным и опережает напряжение U на 90⁰ (рис. 6.6.3).

Когда I_C< I_L, т.е. преобладает ток катушки, общий ток цепи I является индуктивным и отстает от напряжения U на 90⁰ (рис. 6.6.4).

Эти рассуждения проведены в пренебрежении потерями активной мощности в конденсаторе и катушке.

При резонансе токов реактивная проводимость цепи B = B_L – B_C равна нулю. Резонансная частота определяется из уравнения

,

откуда, так же, как и при резонансе напряжений,

и .

Полная проводимость при резонансе токов оказывается близкой к нулю. Остается нескомпенсированной лишь небольшая активная проводимость, обусловленная активным сопротивлением катушки и несовершенной изоляцией конденсатора. Поэтому ток в неразветвленной части цепи имеет минимальное значение, тогда как токи I_L и I_C могут превышать его в десятки раз.

6.6.2. Экспериментальная часть

Задание

Для цепи с параллельным соединением конденсатора и катушки индуктивности измерьте действующие значения напряжения U и токов I, I_C и I_L при w = w₀, w< w₀ и w> w₀. Постройте векторные диаграммы.

Порядок выполнения работы

· Соберите цепь согласно схеме (рис. 6.6.5), подсоедините регулируемый источник синусоидального напряжения и установите его параметры: U = 7 В, f = 500 Гц. В качестве индуктивности с малым активным сопротивлением используйте катушку трансформатора 300 витков, вставив между подковами разъемного сердечника полоски бумаги в один слой (немагнитный зазор).

Рис. 6.6.5

· Изменяя частоту приложенного напряжения, добейтесь резонанса по минимальному току I. Для точной настройки поддерживайте неизменным напряжение на входе цепи. При измерениях виртуальными приборами резонанс настраивается по переходу через ноль угла сдвига фаз между входным током и напряжением. Тогда необязательно поддерживать неизменным напряжение на входе цепи.

· Произведите измерения и запишите результаты измерений в табл. 6.6.1 при f = f₀, f₁»0,75f₀ и f₂ »1,25f₀.

Таблица 6.6.1

· Постройте в одинаковом масштабе векторные диаграммы на рис. 6.6.6 для каждого из рассмотренных случаев.

Рис. 6.6.6

6.7. Частотные характеристики
последовательного резонансного контура

6.7.1. Общие сведения

Частотными характеристиками обычно называют зависимости сопротивлений и проводимостей цепи от частоты синусоидального приложенного напряжения. Иногда к ним относят также зависимости от частоты токов, напряжений, фазовых сдвигов и мощностей.

В последовательном резонансном контуре (рис.6.7.1а) активное сопротивление не зависит от частоты, а индуктивное, ёмкостное и реактивное сопротивления изменяются в соответствии со следующими выражениями:

.

Рис. 6.7.1.

Полное сопротивление, как следует из треугольника сопротивлений (рис.6.7.1б):

Вид этих зависимостей от частоты представлен на рис.6.7.2а. При резонансной частоте w₀=1/√( LC):

X_L (w₀)=X_C (w₀)= √(L/C)= r