Тема 1. Вычисление определителя. Метод Крамера.
Практикум по линейной алгебре
Тема 1. Вычисление определителя. Метод Крамера.
Как вычислить определитель?
1. Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы.
2. Обозначения: Если дана матрица 
, то ее определитель обозначают 
. Также очень часто определитель обозначают латинской буквой 
или греческой 
.
3. Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО.
4. Вычисление определителя 2×2.
Пример:
5. Определитель матрицы 3×3 можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 - нормальные.
1 способ. Метод треугольников.
Пример:
2 способ. Способ Саррюса или способ «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и проводят линии:
Множители, находящиеся на диагоналях, идущих сверху вниз, входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на диагоналях, идущих снизу вверх, входят в формулу со знаком минус.
Пример: Вычислить определитель
Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.
3-8 способы. Шесть нормальных способов для вычисления определителя
Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.
У определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
Пример. Вычислить определитель 
Для начала будем раскрывать определитель по первой строке.
Матрица знаков: 
. Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.
Внимание! Матрица знаков – понятие не научное, оно лишь помогает понять алгоритм вычисления определителя.
Определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ.
Элементы обычно рассматривают слева направо.
Сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:
1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
2) Затем записываем сам элемент:
3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:
Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).
Переходим ко второму элементу строки.
4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
5) Затем записываем второй элемент:
6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.
Остался третий элемент первой строки.
7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
8) Записываем третий элемент:
9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.
Полное решение выглядит следующим образом:
Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.
На листике – разложение по второй строке, по третьему столбцу.
Домашнее задание. Придумать определитель три на три и вычислить его четырьмя разными способами.