3.5. Числовые характеристики системы нескольких величин

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 13

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Минимальное число характеристик, с помощью которых может быть охарактеризована система n случайных величин :

1) n математических ожиданий , характеризующих средние значения величин;

2) n дисперсий , характеризующих их рассеяние;

3) корреляционных моментов

, характеризующих попарную корреляцию всех величин, входящих в систему.

Дисперсия каждой из случайных величин есть частный случай корреляционного момента, а именно, корреляционный момент величины и той же величины :

.

Все корреляционные моменты и дисперсии удобно располагать в виде симметричной по отношению к главной диагонали квадратной корреляционной матрицы случайных величин :

,

где ;

В целях наглядности суждения именно о коррелированности случайных величин безотносительно к их рассеиванию часто пользуются нормированной корреляционной матрицей , составленной из коэффициентов корреляции

; .

3.6. Нормальный закон распределения системы двух величин

Плотность нормального закона распределения двух случайных величин выражается формулой:

Этот закон зависит от пяти параметров: .

Параметры представляют собой математические ожидания (центры рассеивания) величин и ; – их средние квадратические отклонения; – коэффициент корреляции величин и .

Если и не коррелированы, то

Для системы СВ, подчинённых нормальному закону, из некоррелированности величин вытекает также их независимость.

Термины "некоррелированные" и "независимые" величины для случая нормального распределения эквивалентны.

Условный закон двухмерного нормального распределения:

Это выражение есть плотность нормального закона с центром рассеяния

и отклонением

Из последних формул следует, что в условном законе распределения величины при фиксированном от этого значения зависит только условное математическое ожидание , но не дисперсия.

Прямая

называется линией регрессии на .

Аналогично прямая

есть линия регрессии на .

Пример 3.5. В продукции завода брак вследствие дефекта инструмента составляет , а вследствие дефекта сырья (материала) – . Годная продукция составляет . Найти коэффициент корреляции дефектов инструмента и сырья.

Решение. Пусть – случайная величина, принимающая значение 1, если данное изделие обладает браком вследствие дефекта инструмента, и – в противном случае.

Аналогично, , если данное изделие обладает браком вследствие дефекта сырья, и , если дефекта сырья не проявился.

По условию .

Так как

то .

Аналогично находим

.

Совместное распределение величин задаётся таблицей:

	1	0
1	0,025	0,005
0	0,020	0,950

Тогда

;

То есть, коэффициент корреляции дефектов инструмента и сырья равен 0,67.

Пример 3.6. В одном ящике упакованы: одна деталь с номером 1, две детали с номером 2, три детали с номером 3. В другом ящике находятся: две детали с номером 1, три детали с номером 2, одна деталь с номером 3. Из каждого ящика взяли по одной детали. Пусть X – номер детали, взятой из первого ящика. Y – номер детали, взятой из второго ящика. Составить закон распределения системы двух случайных величин (Х, Y) и найти их математические ожидания, средние квадратические отклонения и коэффициент корреляции.

Решение.

Вычислим вероятности событий с использованием теоремы умножения вероятностей событий.

Результаты расчётов занесём в таблицу закона распределения системы двух дискретных случайных величин (Х, Y):

	1	2	3
1	1/18	1/12	1/36
2	1/9	1/6	1/18
3	1/6	1/4	1/12

Вычислим основные числовые характеристики величин (Х, Y):

В силу независимости величин корреляция отсутствует:

3.7. Решение типовых задач главы 3

Пример 3.7. Задана функция плотности распределения вероятностей СВ Х:

при

Найти значение функции регрессии (среднее значение величины Y при х = 0,6).

Решение. Найдём условный закон распределения .

Тогда условное среднее (функции регрессии) будет иметь вид:

Вычислим несколько значений функции регрессии при различных аргументах.

Пример 3.8. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 6,1%, а вследствие дефекта В – 2,8%. Общий брак хотя бы по одному из этих дефектов составляет 7,8%. Найти коэффициент корреляции этих дефектов.

Решение. Пусть – случайная величина, принимающая значение 1, если данное изделие обладает дефектом А, и – в противном случае.

Аналогично, , если данное изделие обладает дефектом В, и , если дефект В не проявился.

Совместное распределение величин задаётся таблицей:

	0	1
0	0,922	0,017
1	0,05	0,011

Тогда

;

То есть, коэффициент корреляции дефектов равен 0,235.

Пример 3.9. Распределение двух СВ (X,Y) задано в таблице:

X	Y
	0,25	0,15	0,32
	0,1	0,05	0,13

Найти условное распределение случайной величины Y при условии, что случайная величина Х приняла значения , .

Решение. Согласно определению имеем при :

При условное распределение случайной величины Y:

Контрольные задачи к главе 3

3.1. Условная плотность распределения СВ X при условии, что случайная величина Y приняла значение y, равна . Найти условную дисперсию .

3.2. Непрерывная двумерная случайная величина распределена равномерно в квадрате с вершина . Найдите вероятность попадания случайного вектора в круг .

3.3. Распределение двумерного вектора задано в таблице:

Найти условное распределение случайной величины Y при условии, что случайная величина X приняла значение .