Исчисление бесконечно малых
Повторение понятия функции на основе числовой непрерывности (полнота вещественных чисел).
Взгляд на конец 17-го — начало 18-го веков на примере исторического развития исчисления бесконечно малых Ньютоном и Лейбницем.
Отработка связи функции и графика на примере элементарных функций.
Дифференциальное исчисление
Получение относительного приращения.
Вывод относительного приращения.
Отработка правил дифференцирования для функций многочлена, дробных рациональных функций, функции корня и функции угла.
Качественный смысл производных и их соответствие в понятиях скорости и ускорения.
Правило произведения, правило частного, производная сложной функции.
Возможно:
Выведение обратных функций.
Связь первообразной функции и относящихся к ней производных функций в графическом изображении.
Обсуждение кривых, в первую очередь функций многочлена
2, 3, 4-й степеней и дробные рациональные функции.
Применение в различных областях жизни и техники.
Экспонента, натуральный логарифм (по возможности углубление после предварительного знакомства с ними).
Определение членов функций по особенностям графиков.
Задания по экстремальным значениям с примерами из сферы производства; оптика (принцип Ферма).
Интегральное исчисление
Выведение и образование первообразной функции как противоположные математические процессы.
Развитие методов интегрирования для функций многочленов.
Интеграл как функция площади под кривой.
Понятие первообразной функции и «неопределенного интеграла».
Векторные поля.
Некоторые правила интегрирования (основные интегралы).
Основная теорема дифференциального и интегрального исчисления.
Расчеты площадей ровных поверхностей, ограниченных криволинейными поверхностями, и другие применения.
Возможно:
Расчет объема тел вращения.
Геометрия (см. также 11-й класс)
Проективная и аффинная геометрия, конструктивно и аналитически
Отображение точек и прямых.
Неподвижные элементы.
Инварианты.
Введение в рассмотрение отображений с точки зрения теории групп.
Взгляд на развитие математики на примере выдающихся личностей, например: Феликса Клейна, Давида Гильберта, Джорджа Буля, Морица Кантора и др.
Возможно:
Соединение математики, астрономии, ботаники, эмбриологии и геометрии.
Комплексные числа.
Вычисление вероятности и статистика (если не пройдено в 9-м классе).
Лапласовское и нелапласовское распределение.
Правила сложения и умножения.
Биномиальное распределение.
Проверка гипотез.
(8) Естествознание — биология и экология
(а) Естествознание
4 – 8-й классы
Основные аспекты и общие цели преподавания
Естествознание начинается не как отдельный предмет, а в части, посвященной рассказам, и в «Ремеслах» в 1-м классе. Ребенок должен целостным, ясным и ненаукообразным способом узнать, что все царства природы сосуществуют с человеком. «Ненаукообразным» здесь означает: не нацеленным на общеизвестные законы природы, не подготавливающим и не вводящим схемы разделения. Однако это не значит «фантастическим», «туманным», «случайным» и «без ориентира», а скорее выявляя с помощью продуманной фантазии сущность природного явления. Так, например, в рассказе учителя дуб может оказаться для ученика обладающим характером дуба большей степени, чем дуб в городском парке, а корова сможет раскрыть все свое своеобразие гораздо полнее в разговоре с пастухом на лугу, чем при посещении на каникулах стойла.
Так и во 2-м классе басни и легенды о животных и растениях (например, Франциска, Беатуса или Брендана) совершенно четко и однозначно связаны с естествознанием.
В 3-м классе история сотворения мира из Ветхого Завета образно представляет появление Земли, растений, животных и человека. Однако к этой сложности и полноте, в связи с эпохой полеводства и сельского хозяйства, добавляются более индивидуальные, конкретные описания растений и животных. Важно, чтобы восприятие растений и животных такими, какими они являются на самом деле, все больше пронизывалось благодарностью, вниманием и благоговением перед творением со стороны учителя а, следовательно, и детей. Эти чувства не должны прививаться детям сентиментальным путем. Они могут быть результатом и плодом образа мыслей, который серьезно рассматривает Землю как арену взаимосвязей и ответственности человека перед всеми царствами природы.
Именно сегодня, когда мы все более и более переживаем «немую весну» Рашель Карсон, дополнительное и жизненно важное значение приобретает преподавание естествознания или экологии, которое пробуждает внимание к достоинствам творения. Самым сокровенным желанием Рудольфа Штейнера было показать и дать прочувствовать в этом преподавании взаимные связи.
«Как растительный мир при обучении детей должен быть связан с Землей, так что он в известной степени оказывается для них чем-то вырастающим из земли как ее производное, так и весь животный мир следует, как целое, вывести от человека. И таким образом ребенка живо вводят в природу, в мир. Он учится понимать, каким образом растительный покров Земли относится к организму земли. Но, с другой стороны, он учится также понимать, что все живущие на Земле виды животных определенным образом оказываются «путем» к росту человека». (R. Steiner, GA 307, S. 167).
Абсолютно ясно, что в наше время от школы требуется подготовка детей в области экологии. Однако, будучи выделенной в отдельный предмет, она принесет мало пользы, и поэтому должна постоянно включаться в методику естествознания, а также и других предметов, поскольку движение всегда идет от целого к частному. (см. W. Schad/ A. Suchantke в F. Bohnsack/ E.-M. Kranich, 1990).
Таким образом, если видеть задачу преподавания естествознания и в том, чтобы ближе подвести ребенка к Земле, глубоко исследовать Землю со всеми ее природными царствами, что еще раз означает стать «по-земному зрелым», то это преподавание может с 4-го класса начинаться там, где ребенку будет легче всего устанавливать связи и взаимоотношения. Их можно найти в зоологии, связанной с антропологией , причем исходным моментом и основой деления может быть физическая организация человека с разделением на системы головы — туловища — конечностей (R. Steiner, GA 294, 7. Vortrag).
«Животный мир, особенно его высшие формы, легче раскрывается для физиогномического познания, чем спокойные, немые создания растительного мира. Ведь в строении и поведении животного, в его движениях и повадках проявляется живая, активная «душевная» жизнь. Наблюдаемое явление оказывается не застывшим образом отдельного душевного движения, как у растений, — оно бывает пронизано настоящей внутренней жизнью, стремлениями и побуждениями, страстями и инстинктами, желанием и нежеланием, различными степенями бодрости и другими душевными силами» (E.-M. Kranich, Stuttgart 1993, S. 189).
Ботаника (5-й класс) обращается через душевные переживания к мышлению, которое еще целиком протекает в области образно-конкретных представлений. При «понимании» растений ребенок должен испытывать прежде всего радость от того, что у него открываются глаза как на отдельные мелкие детали, так и на широкие взаимосвязи.
Если в преподавании антропологии и зоологии основным отправным пунктом может быть физическая тройственная организация человека с ее разделением на системы головы — туловища — конечностей, то в преподавании ботаники должна быть показана временно-эволюционная, но в первую очередь душевная связь с человеком.
«После того как станут ясными связи человека, надо будет попытаться выявить и связи растения с человеком... В то время как животный мир вы должны в большей степени сравнивать с телесностью человека, растительный мир следует сравнивать больше с его душевным началом... Вы должны попытаться внести порядок в жизнь растений именно благодаря связям человеческого душевного начала с растениями». (R. Steiner, GA 295, 9., 10., 11. Seminarbesprechung). Детальное изложение подхода можно найти в цитируемой книге Е.-М. Краниха (1993).
Сюда же относится как взгляд на жизнь растений в течение года, так и на ее связь с Землей и Солнцем в сочетании с взглядом на всю Землю. На экскурсиях и прогулках по окрестностям можно увидеть очень многое. Растения теперь воспринимаются совершенно иначе: устанавливаются связи с ними, результатом чего являются дружественные отношения и привязанность.
Таким образом, в ботанике в соприкосновение с явлениями растительного мира прежде всего приводятся душевные силы ребенка, а при рассмотрении и описании минералов в большей степени требуется и стимулируется логико-причинная сторона понимания.
Так, пройдя зоологию и ботанику, дети доходят до «мертвой» области – минералогии. Если сначала фоном естествознания был физический, а затем психический образ человека, то при преподавании минералогии он снова всплывает в отблеске трехчленности гранита или в трех основных группах горных пород (осадочные, глубинные и вулканические). Это и становится основной темой естествознания в последующие 4 года (т. е. от завершения начальной школы до 10 –го класса).
Именно в период полового созревания следует вызвать правильное отношение к собственному телу. Из этого вырастает ответственность человека как по отношению к самому себе (учение о питании и здоровье в 7-м классе), так и по отношению к другим людям, причем следует рассматривать по существу половые различия, и по отношению к миру, поскольку его законы отражаются в строении скелета и в механике мышц и костей, в функции глаза и гортани (антропология, 8-й класс).
С созреванием и вопрос о сущности человека, о его предопределении и о его определении обретает новую, экзистенциальную окраску. «Кто я? Откуда я? Куда я иду?» — эти вопросы живут в душе молодых людей и беспокоят их, даже если об этом иногда и говорится в скрытой или сдержанной форме. Ни с фактической, ни с методической сторон недопустимо все, что носит определяющий, устанавливающий характер (человек — это:
продукт окружающей среды;
раб генов;
эгоист, действиями которого руководят желания и страсти;
то, что он ест;
голая обезьяна и т. д.).
С фактической точки зрения человек характеризуется именно тем, что он всегда в становлении и никогда не «застывает». Методически ребенок (а позже — молодой человек) имеет право чувствовать, как им все больше и больше достигается понимание человека, причем со все новых и новых точек зрения. В этом заключена одна из важнейших задач преподавания естествознания и науки о человеке. И мы не должны говорить об «образе человека», потому что это предполагает готовое знание. Рудольф Штейнер никогда не говорит об «антропософском образе человека».
«Однако вы должны подумать и о том, что вам следует дать ребенку нечто такое, что останется с ним на всю жизнь. Вы не должны давать ему мертвые понятия об отдельных деталях жизни, так как те не будут сохраняться; вы должны давать ему об отдельных деталях жизни и о мире живые понятия, которые будут органически развиваться вместе с ним. И все это необходимо связывать с человеком. В конце концов в восприятии ребенка все должно соединяться в идее о человеке. Эта идея о человеке должна оставаться с ним. Все, что вы даете ребенку, когда рассказываете ему басню и применяете ее к человеку, связывая в естественной истории с человеком каракатицу и мышь; когда вы при рассказе о телеграфе Морзе вызываете чувство удивления чудом, возникающим благодаря проводимости Земли, — все это вещи, соединяющие мир во всех его деталях с человеком. Это — то, что может остаться. Но понятие о человеке выстраивается довольно постепенно, ребенку нельзя давать готовое о человеке» (R. Steiner, GA 293, 9. Vortrag).
4-й класс
Подходы и лейтмотивы преподавания
«Только с 9 лет, на втором этапе обучения в начальной школе, и примерно до 12 лет мы начинаем в большей степени формировать наше самосознание. Именно тогда начинаем мы естественную историю царства животных — так, как я показал вам это на примере каракатицы, мыши и человека» (R. Steiner, GA 294, 10. Vortrag).
Первая часть этого указания по учебным планам Рудольфа Штейнера, относящаяся к началу преподавания естествознания, и в частности зоологии, совершенно ясна. Однако дидактическая последовательность может вызывать вопросы. В «Методико-дидактическом», а также и в «Семинарских обсуждениях» образцово разобраны связи «каракатица — мышь — человек». Речь идет о том, что можно попытаться разделить животный мир, имея в виду физический подход к человеку с учетом его головной организации, системы туловища и системы конечностей — обмена веществ. Таким образом, ребенок может получить представление о царстве животных как о «веерообразно» распростертом над Землей человеке. При этом он может прочувствовать и уникальность человека: ведь человек никогда не бывает специализированным, как животные, связанным с инстинктами и определяемым своим поведением; благодаря своей неспециализированности, универсальности он предрасположен к свободе. И в данном учебном году речь пойдет именно об этом ощущении — ощущении того, что «экстрактом» и результатом синтетического соединения всего животного мира на более высокой ступени является человек.
Возможное содержание преподавания (на выбор)
Человек, разделенный на системы головы, туловища и конечностей.
Связанные с этим важнейшие функции: область чувств и нервной системы; дыхание и сердцебиение; пищеварение и разнообразие в использовании конечностей.
Каракатица как пример «головного животного». То, что человек осуществляет с помощью своих органов чувств – а именно охватывает окружение своей заинтересованностью – каракатица выполняет телесно – своими щупальцами (см. T. Göbel в «Goetheanische Naturwissenschaft, III», S. 50 ff)
Овца как «туловищное животное», у которого доминирующую роль играет конституция позвоночного животного и связанные с ней обменные процессы, такие, как пищеварение и «согревание».
Как у подобных животных бросается в глаза доминирование пищеварения и обмена веществ, так, у мыши, например, доминирует нервная возбудимость и специализированное строение самых передних отделов пищеварительного тракта. Поэтому и как позвоночное существо она при таком особом подходе, включаема в тему туловища.
Сходство функции передних и задних конечностей у некоторых млекопитающих или их особая целесообразность должны быть обсуждены на фоне конечностей и их употребления человеком
Особенность человека, заключающаяся в совершенстве организации его конечностей
Кисти рук и руки как символы человеческой свободы.
5-й класс
Подходы и лейтмотивы преподавания
С одной стороны, в 5-м классе следует продолжить начатое в 4 –м классе знакомство с видами животных и связью их с человеком, расширяя этот круг за счет до тех пор не известных форм. С другой стороны, упор, безусловно, следует делать на ботанику.
Так, например, важно сказать об условиях роста растений (особенности почвы, влажность, свет и тепло), чтобы затем узнать естественные биотопы растений. «Душевное» отношение к становлению и исчезновению растительного мира представляет собой нечто совершенно иное, часто гораздо более сдержанное, чем отношение к животному миру. Но речь идет именно об этом «душевном» обращении к растениям.
Живое ощущение собственной связи с Землей и с принадлежащим ей растительным миром именно сегодня оказывается условием жизни, если не выживания.
Таким образом, одной из целей обучения является помочь ребенку ощутить свою сопричастность Земле — земной окружающей среде и растениям. Вторая цель — работа по «систематике» растений — не чужда, а, наоборот, близка ребенку. Как растения и Земля воспринимаются в их взаимосвязи, так и ребенок должен воспринимать себя в такой же связи, гражданином Земли. Далее Рудольф Штейнер рекомендует сопоставлять разные этапы формирования растительного царства (от грибов до цветковых растений) со стадиями развития ребенка. Однако при этом важно избежать установления внешних аналогий, иначе это, при некоторых обстоятельствах, может привести к чрезвычайно банальному наглядному преподаванию. Следует представлять характерные черты каждого вида растений в «художественной форме» и вовлекать детей с их ранними душевными переживаниями и формами сознания в этот процесс представления и переживания.
Возможное содержание преподавания
Продолжается преподавание зоологии. Основой при этом может быть тройственность — орел, лев и корова.
Орел: Животное, всю сущность которого внешне определяют глаза и органы дыхания.
Лев: Животное с господством дыхательной и кровеносной организации.
Корова: Вся ее организация определяется чрезмерным развитием органов пищеварения.
От этой тройственности можно переходить к многообразию соответствующих групп животных.
От орла:
к певчим птицам (выраженная связь с окружающим миром: сезонный и суточный ритмы, строительство гнезд, песни);
к хищным птицам (максимальный артистизм в воздушном пространстве);
к водным и наземным птицам (водоплавающие птицы, бегающие птицы, болотные птицы).
От льва:
к медведям (исходное строение конечностей);
к другим хищным кошачьим;
к волку и лисе.
От коровы:
к высокогорным животным (серна, горный козел);
к животным с открытостью окружающей среде (косуля, олень, антилопы);
к жирафу с его связью с высотой и широтой пространства (преобладающее формирование ног и шеи);
к животным, пребывающим в тяжести собственной организации (бегемот, носорог);
к животным, чувствительным к попадающим внутрь и контактирующим с ними веществам (свинья).
В ботанике следует в первую очередь:
сформировать живые представления о корне, стебле, листе и цветке, например на лютике или одуванчике (соцветие-корзинка).
Разница между травянистым растением и деревом и отношение «луг — лес»:
дерево как «выпятившаяся» земля, на которой во множестве растет только один вид растений.
Рассмотрение царства растений и его подразделение на:
грибы;
водоросли;
лишайники;
мхи;
папоротники;
хвощи;
хвойные деревья;
цветковые растения.
6-й класс
Подходы и лейтмотивы преподавания
В этом учебном году продолжается рассмотрение растений. Ребенок подходит к «порогу каузальности», и это открывает возможность для преподавания естествознания с точки зрения интересных, богатых связями подходов. Теперь можно увязать различные «планы строения» растений, места их произрастания и их связь с определенным временем года. Однако при этом следует найти главенствующий подход. Его можно найти, если за растениями наблюдать в течение всего года. Многие из характерных растений различных семейств достигают максимального развития и цветения в разное время. Из уроков географии дети узнают существенные как для ботаники (зоны растительности), так и для новой «физической области» естествознания, минералогии, важные моменты. Именно физико- логический аспект, как уже упоминалось, считал Рудольф Штейнер существенным для преподавания минералогии в 6-м классе. Подойдя к миру минералов, мы попадаем в наиболее удаленную от человека область природы.
«Тот, кто преподносит ребенку сведения о минералах раньше (имеются в виду 11— 12-й годы жизни), когда он склоняется к растительному, к тому, что вырастает из земли, то есть из камней, полностью губит внутреннюю подвижность душевной жизни ребенка. То, что не имеет отношения к человеку, — минеральное. Мы должны начинать изучение минералов лишь после того, как ребенок сам правильно начинает ощущать себя в мире и включил в свои представления и в свои чувства, а с помощью зоологии и в свою волю то, что ему близко — растительное и животное». (R. Steiner, GA 307, 11. Vortrag).
Возможное содержание преподавания
Ботаника
Родственные лилиям однодольные растения (весна).
Крестоцветные (начало лета).
Злаки, бобовые, зонтичные и группа сложноцветных с язычковыми цветками (середина лета).
Остальные сложноцветные и губоцветные (вторая половина середины лета).
Лютиковые и розоцветные с их различными видами, которые в гораздо большей степени, чем остальные семейства, охватывают весь вегетационный сезон.
Другие важные семейства растений на выбор, с учетом пищевых и лекарственных растений.
Имеются рекомендации (W. Schad и др.) в рано начинающейся в наше время фазе полового созревания думать на основании связанных с учением о человеке подходов о продолжении курса зоологии. Возможно изучение насекомых.
Минералогия
Сначала в ее связи с географией. Различные горообразующие породы и характерные формы гор.
Состав гранита гнейса. Полевой шпат, кварц и слюда. Известняк и родственные породы, базальт и сланцы.
Драгоценные камни, встречающиеся в древнейших породах, в известняке или вулканических породах.
Обработка драгоценных камней.
В связи с минералогией проводятся интересные экскурсии на места нахождения пород и, если возможно, на фабрику, где шлифуют драгоценные камни.
7-й класс
Подходы и лейтмотивы преподавания
На этом уровне школьного обучения изучение естествознания уже полностью возвращается к человеку. Однако все время звучит тема связи с окружающим миром, если речь идет о питании или здоровье. И то и другое в значительной степени связано с окружением человека, окружением, из которого человек получает свою пищу и которое разнообразно влияет на его здоровье или на болезни. Поэтому оказывается возможным рассматривать растения в их конкретной связи с процессами излечения и питания.
Время, когда снова возвращаются к изучению человека, выбрано Рудольфом Штейнером не случайно; он обозначает его как последнюю возможность испытать те исходные ощущения, связанные с питанием и здоровьем, которые постепенно исчезают при наступлении половой зрелости. После полового созревания то, что ранее обеспечивал инстинкт, должен обеспечивать разум. Здесь возникает проблема рассмотрения здоровья или болезни как «частной принадлежности», что, таким образом, связано с эгоизмом.
«То, что позже, после половой зрелости, каким-то образом приходит к человеку через питание и здоровье, приводит к появлению у него эгоизма. Это и не может дать ничего, кроме эгоизма.
... Но человек будет меньше подвержен опасности эгоизма в последующей жизни, если он в последние годы обучения в школе пройдет курс учения о питании и здоровье, когда в преподавании этих предметов речь идет еще не об эгоизме, а о естественном для человека» (R. Steiner, GA 294, 14. Vortrag).
Возможное содержание преподавания
Процессы пищеварения на примере пищеварительного тракта. Вопросы питания в связи с углеводами, белками и жирами. Их особый, гармоничный состав в первой пище – в молоке.
Социальные функции культуры еды и способности к перевариванию.
Дыхательная организация.
Кровообращение и сердце представленные упрощенно.
Органы выделения и половая полярность.
Центральная нервная система в ее чертах.
При разговоре о любой системе органов следует говорить о часто встречающихся заболеваниях, а также лекарственных средствах и лекарственных растениях с точки зрения домашней медицины; следует обсудить вкусовые средства и наркотики.
Значение одежды для телесного и душевного благополучия. Качество текстильного волокна.
8-й класс
Подходы и лейтмотивы преподавания
На этой возрастной стадии подготавливается такая глубокая перестройка структуры членов существа, что мы можем уже говорить о конце детства. Рудольф Штейнер называл эту стадию «земной зрелостью». В результате сильно выраженного роста тело обретает значительный вес. С наступлением половой зрелости в принципе достигнута физическая возможность продолжения биологической цепи поколений. В этой переломной фазе появляются новые душевные масштабы, связанные чаще всего с утратой существовавших до этого ориентирующих связей с родительским домом, со школой и друзьями детства. Именно благодаря возрастающему разладу между телесными и душевными процессами большую актуальность обретают вопросы о загадках собственного существования.
Задачей педагогики является правильное сопровождение этого значительного, окончательного шага в глубины инкарнации. Поэтому в центре преподавания снова оказывается биология человека, причем рассматриваются органы, в максимальной степени включившие в свои функции закономерности внешнего физического мира: органы чувств и двигательная организация (произвольная мускулатура и скелет). «В 8-м классе вы будете так строить человека, как вы представляете себе то, что оказывается встроенным в него извне: механику костей, механику мышц, внутреннее строение глаза и т. д.» (R. Steiner, GA 295, 2. Vortrag). Поскольку мы обращаем внимание на наиболее мертвое, на минерализованный костный скелет, эта эпоха сильно «приземляет» подростка. Во взаимодействии с силой тяжести он познает собственную силу противостояния ей посредством мудрости тела, которым он сам овладел. Все это должно быть скрыто учителем под образно-художественной формой. На анатомическую точность не следует обращать слишком много внимания.
Возможное содержание преподавания
(Тематика 8-го и 9-го классов сходна. Поэтому требуется четкая договоренность между классным учителем 8-го класса и учителем биологии 9-го класса).
Позвоночник с его мускулатурой в аспекте развития ребенка (овладение вертикальным положением).
Формы позвоночника как отражение находящегося в поле действия тяжести и противостоящего ей человека.
Пояс верхних конечностей с руками (будет рассматриваться еще раз в 9-м классе, чтобы основательно углубить представленное здесь лишь в общих чертах. Пронация и супинация предплечий (см. «Тайную вечерю» Леонардо!).
Область таза и скелет ног (необычная длина и функциональное расчленение) с мышцами-распрямителями ягодичной области.
Движение и покой при ходьбе и стоя (завершающая ротация колена).
Ступня, в первую очередь свод стопы, как отражение вертикализованной организации.
Голова человека в своей вертикально организованной конфигурации лицевого черепа и сферической форме мозгового черепа (образование лба, нос, уменьшение челюстей).
Сравнение с конфигурацией черепа некоторых животных (см. W. Schad в Goetheanische Naturwissenschaft IV, Stauphänomene, Stuttgart 1983).
Возможно –золотое сечение в скелете человека (ср. геометрию 7-го класса).
В связи с преподаванием физики:
функция и строение человеческого глаза и уха;
человеческое тело и четыре элемента (тепло, воздух, жидкое, твердое).
В новом понимании собственного тела одновременно достигается свободное отношение к нему и оказывается существенная помощь в решении проблем пубертатного периода.
(b) Биология и экология
9 — 12-й классы