Выборочное рассмотрение проективной или сферической геометрии, в зависимости от уровня развития класса (возможно также в 12-м классе)
Проективная геометрия
Центральная проекция.
Бесконечно удаленные элементы.
Понятие двойственности.
Теорема Дезарга.
Теорема Паскаля.
Теорема Брианшона .
Гармоническая основная фигура, гармонические отображения.
Сферическая геометрия
Полюс и полярные плоскости шара.
Введение в неевклидову геометрию на шаре.
Аксиома о параллельных.
Графическое изображение больших и малых окружностей на шаре.
Сферический двуугольник.
Вычисление поверхности и объема шара.
Построение сферического треугольника с помощью трех определяющих величин (теоремы о конгруэнтности); сумма углов в сферическом треугольнике.
Построение касательных к шару в точках треугольника.
Математическая география
Расчет углового расстояния, дальности и азимута.
Выведение теоремы синусов сферической тригонометрии.
Возможно:
Теорема косинусов сферической тригонометрии.
Математические величины в географии (метр, морская миля, узел).
Полярный треугольник.
Математическая астрономия
Графическая проработка горизонтальной системы координат, а также положения созвездия в пространственном изображении.
Экваториальная система.
Возможно:
Построение навигационного треугольника .
Солнце в течение года.
Исчисление времени (местное, зональное и звездное время).
Летоисчисление.
Платоновский год.
Ритмы Луны и Солнца.
Возможно:
Булева алгебра (введение в преподавание информатики и технологии; по желанию можно и в другое время).
Алгебра логики.
Понятие «или» и «и», как обычно, вводится вместе с параллельными или последовательными схемами.
Теория множеств.
Логика высказываний (пропозициональная логика).
12-й класс
Подходы и лейтмотивы преподавания
По сравнению с 11-м классом должен быть сделан значительный шаг вперед. Если в 11-м классе путь в аналитическую геометрию шел еще из наглядно-геометрического в алгебраико-расчетное, то теперь, в 12 классе, ситуация обратная. В анализе ученик должен пережить выход из чисто числовой области к дифференциальному и интегральному исчислению. Предельные значения числовых последовательностей должны восприниматься как «представители» бесконечных процессов. Через проработку понятия относительного приращения ученик должен освоить новые масштабы в математике. Частное двух стремящихся к нулю дифференциальных рядов дает нечто совершенно новое. Это должно не только применяться, но и быть внимательно рассмотрено, узнаваемо и способно вызвать переживания. Анализ уравнения должен быть настолько наглядным для ученика, «чтобы при этом возникло чувство, как, собственно говоря, внутри уравнений кроются вещи» (R. Steiner, GA 300/3, S. 154). И только тогда очевидное, графическое представляется как изображение расчетного. Найти из уравнения форму, в форме узнать уравнение — таким образом и пытаются пробудить у учеников внутреннюю активность и стимулировать понимание как функциональных связей, так и качественной стороны в математике. Это в конце концов оказывается необходимым для овладения истинными познаниями в области современной физики. В связи с этим может быть также показано, что функции одного типа в области прикладной физики могут применяться различным образом: в оптике, в электричестве, в механике, в космонавтике. Качество и количество расходятся.
При проработке основ интегрального исчисления ученик должен узнать, что и в области высшей математики одному математическому процессу расчетов (дифференцированию) соответствует другой, полярно противоположный, открывающий, в свою очередь, новый уровень математической постижимости мира.
Далее, в зависимости от того, что проходилось в 11-м классе, можно вместе с учениками работать с проективной геометрией, исходя, возможно, из центральной проекции, или со сферической геометрией. Проективная геометрия в таком виде может предоставить возможности для применения в перспективе Кавальери и перспективном рисунке в архитектурной эпохе во время возможного путешествия с изучением памятников искусства. Сферическая геометрия может вводиться с упором либо на графической, либо на расчетной стороне и иметь как больший выход в астрономию, так и применяться по отношению к Земле (возможно, в рамках начертательной геометрии).
Еще одна возможность для второй эпохи математики – это объединение в одной общей картине различных естественных наук — математики, ботаники, астрономии, эмбриологии и геометрии. Однако использование этой возможности сильно зависит от уровня развития класса.
Возможное содержание преподавания