Знания и умения в области элементарной алгебры
Повторение:
Числовые области «N, Z, Q».
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель и признаки делимости.
Простые числа и вопрос об их количестве.
Сложение, вычитание, умножение, деление многочленов и алгебраических дробей.
Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня.
Иррациональные числа и новая числовая область «R».
Прямая и обратная пропорциональность в применении к различным областям практической жизни (вычисление процентов).
Алгебра:
Линейные уравнения с двумя и тремя неизвестными.
В зависимости от характера класса: квадратные уравнения (возможно изучение в 10-м классе)
Комбинаторика
Перестановки.
Сочетания.
Размещения.
Возможно —основные элементы теории вероятностей, исходя из комбинаторики .
Элементы теории чисел (системы счета с разными основаниями, особенно двоичная система, в связи с работой компьютеров.
Бином Ньютона
Биномиальный коэффициент.
Треугольник Паскаля.
Алгоритмы возведения в квадрат и извлечения квадратного корня, краткие сведения о кубическом корне.
Методы упрощения вычислений без электронных вспомогательных средств на основе бинома Ньютона.
Алгоритмиольшегоческие вычисления
Непрерывные дроби и их применение при сокращении дробей.
Дробные приближения для золотого сечения (см. «Иррациональность»)
Возможно —алгоритм Евклида в применении к вычислению наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя с практическими работами.
Методы приближения в арифметике и геометрии
Расширение численной области на иррациональные числа .
Расширение методов вычисления на корни.
Возможно –
от Ö 1 до Ö25 в цепных дробях числовой последовательности.
Евклидов алгоритм как метод аппроксимации.
Знакомство с аппроксимацией на примерах:
квадрат и Ö2;
равносторонний треугольник и Ö3;
равносторонний пятиугольник и Ö5.
Выведение формулы для стороны пятиугольника из его диагонали.
Геометрия
Повторение: работа с углами и их типами.
Теорема о центральном и вписанных углах.
Исходя из треугольника, повторение теорем о конгруэнтности: преобразование подобия, четыре особых точки в треугольнике и прямая Эйлера.
Группа теорем Пифагора (дополнение теоремы Пифагора теоремами о высоте и катетах).
Повторение и углубление вычислений площадей (треугольника, прямоугольника, квадрата, ромба, параллелограмма, трапеции, дельтоида; преобразования площадей).
Исследование окружности (длина, площадь, p).
Вычисления с различными геометрическими телами (кубом, прямоугольным параллелепипедом, призмой, пирамидой, цилиндром, конусом, шаром).
Работа с коническими сечениями, например, исходя из геометрического места точек, связанных и с другими типами кривых (например, кривыми Кассини, Декарта); по желанию этот материал может изучаться и в 10-м классе.
Изображение различными методами фигур, ограниченных плоскими поверхностями (как правило, в эпохе, посвященной «начертательной геометрии».
Сечение наклонной плоскостью.
Платоновы и Архимедовы тела.
Отработка восприятия симметрии на простых Платоновых телах (кубе, октаэдре, тетраэдре) посредством процессов преобразования одного в другое при сечении наклонными плоскостями.
Сечения куба и конуса.
Отработка внутреннего рассмотрения пространства с помощью упражнений на представление перед рисованием, а также четко отделенные друг от друга описания пространственных взаимоотношений и чисто конструктивных ходов.
Отработка простого стандартного шрифта.
Возможно — непрерывное деление, золотое сечение (в архитектуре, природе и в человеке); этот материал рекомендуется и для 10-го класса.
10-й класс
Подходы и лейтмотивы преподавания
Ученика следует вести «от знания к познанию» (R. Steiner). В методике преподавания это означает совершенно новый подход.
Для этого широкие возможности предоставляет тригонометрия. В тригонометрических функциях ученик открывает совершенно новую систему связей, а также и пользу, которую можно из них извлечь. Следует пережить практическое применение математических расчетов. Оно может быть затребовано в связи с физикой (теорема косинусов в статике; параболическая траектория брошенного тела), а также в так называемой «элементарной практике», когда ученики, измеряя и зарисовывая, имеют дело с землей. Оттачивается точность; поправки в работу молодого человека вносит результат, а не учитель.
Так же ученик (опять-таки на особой эпохе) узнает о значении ортогональных проекций. Исходным пунктом для рассмотрения вопроса могут быть различные возможности получения изображений. В дополнение к перспективе рассматриваются пространственные проекции и элементы проективной геометрии.
Дается завершающий обзор способов вычисления, приводящий в итоге к изучению понятия логарифмов.
Теперь чаще применяется калькулятор.
В учении об уравнениях не позже чем в это время вводятся квадратные уравнения, а также различные способы решения и формулы.
Преподавание математики в 10-м классе должно быть тесно связано с практической стороной жизни. Так, можно предложить вернуться к начатой в 7-м классе теме ведения бухгалтерской документации и продолжить ее с упором на «составление баланса». «Осознается характер торговли как процесса, ее развитие, и благодаря этому возникает возможность осмысления как всего этого процесса, так и отдельных его этапов. Становятся ясными взаимосвязи и появляется аспект социальной ответственности». (M. Brater, a.a.O, S. 199).
Возможное содержание преподавания
(как и в предыдущем году, возможно выполнение не полностью)
Алгебра
Квадратные уравнения:
Дополнение до полного квадрата.
Выведение формул решения и их применение.
Формулировка и доказательство теоремы Виета .
Структура общего квадратного уравнения.
Значение дискриминанта.
Возможно — линейные и квадратные неравенства.