Эпоха живописи и графики
И на первый план все больше выходит рассмотрение формы, композиции, стиля. В зависимости от потребности в познании у молодых людей центр тяжести смещается от узнавания к познанию, от рассматривания (или слушания) к пониманию. При этом черно-белая или светло-темная графика идет вразрез с тенденцией у десятиклассников к уходу внутрь.
Возможное содержание преподавания
Эпоха метрики и поэтики
На примере лучших произведений европейской поэзии обсуждаются основные роды поэзии (эпос, лирическая и драматическая поэзия); исследуются характерные признаки стилей. Рассматриваются изобразительные средства поэтического языка (ритм, размер, звучание, образ). При этом важно, чтобы работа шла прежде всего через самостоятельные действия, через самостоятельную пробу сил в виде упражнений в искусстве сочиненять в прозе и в стихотворной форме.
Эпоха живописи и графики
Если программа эпох позволяет по времени, во второй эпохе можно продолжить знакомство с живописью. Лейтмотивом здесь может быть противопоставление северного искусства южному (Вельфлин). В центре находятся великие мастера северного искусства XVI и XVII веков: Дюрера, Грюневальда (Нитхардт), Хольбейна, Рембрандта. Важной темой становятся новые разнообразные графические техники (ксилография, эстамп, офорт), которые в идеале должны быть связаны с эпохой практических работ в искусстве.
10-й класс
Подходы и лейтмотивы преподавания
В качестве ответа на все больший уход молодого человека в этом возрасте внутрь себя появляется новая тема — музыка, «искусство чисто внутреннего мира» (Гегель). Она либо выделяется в самостоятельную эпоху, либо рассматривается совместно с живописью. При этом внимание в большей степени обращается на обобщающие моменты, на широкие связи. Рассматриваются близость и различия разных видов искусства, причем лейтмотивом может стать противоположность художественно-пластических и языково-музыкальных жанров.
Возможное содержание преподавания
Музыка
Если музыка выделяется в самостоятельную эпоху (чаще всего разделяемую с учителем музыки), то можно, например, обсудить отдельные этапы развития музыки и на основе услышанного сделать анализ формы и стиля. Обращается внимание на своеобразие временнóй парадигмы в музыке как «процесса форм» и подчеркивается особое положение музыки среди искусств (Шопенгауэр). При этом лейтмотивом при рассмотрении истории музыки можно сделать предложенные Ницше понятия аполлоновского и дионисийского начал (в качестве пар, в основе противопоставления которых лежит эта полярность, можно, например, назвать следующее: пентатоника — хроматика, звук — мелодия, Гендель — Бах, Дебюсси — Вагнер); рассмотрение пар понятий оказывается плодотворным также и в отношении изобразительных искусств.
Живопись
Эта эпоха должна, начавшись с романтизма (К. Д. Фридрих), дойти до модернизма. Импрессионизм и экспрессионизм — первый центр тяжести эпохи, начиная с которого путь должен идти через великих «разрушителей устоев» — Сезанна, Гогена, Мунка, Ван Гога — к “Голубому рыцарю”, к классикам модернизма. При этом всегда рассматриванию произведения должны сопутствовать руководящие подходы и выявление объемлющих взаимосвязей. Как противоположность «импрессионизм — экспрессионизм» связывается с идущей от музыки противоположностью аполлоновского и дионисийского, так можно расширить подходы и к другим, более общим полярностям эстетики: классическое — романтическое, пластическое — музыкальное, музыкальное — живописное, глаз — ухо, пространство — время и т. д. Если музыка и живопись рассматриваются в единой эпохе, то может оказаться особенно плодотворным открытое деятелями искусств XIX и XX веков родство музыки и живописи (Гоген, Дебюсси, Скрябин, Клее, Кандинский и др.).
12-й класс
Подходы и лейтмотивы преподавания
В соответствии с требованиями, предъявляемыми к 12-му классу, рассматривать предмет с универсальной точки зрения основу должна составлять целостность искусств. Основная тема 12-го класса — архитектура. Молодой человек теперь может достичь истинного понимания архитектуры. Строение его тела, точнее, статика его скелета уже развиты настолько, что он может воспринимать статико-конструктивные законы архитектуры и внутренне «понимать» их, исходя из собственной телесности. Архитектура рассматривается как универсальное искусство, вовлекающее в сферу своего воздействия и интегрирующее остальные виды искусства. Это может привести к идее «объединенного» произведения искусства. В связи с чем можно попытаться ответить на потребность двенадцатиклассников отдельной главой, посвященной философии искусства («эстетике»).
Возможное содержание преподавания
Архитектура рассматривается с учетом того особого положения, которое она занимает среди других видов искусства. Ее развитие при этом рассматривается под трояким углом зрения: с точки зрения художественного создания, механической конструкции и социальной функциональности. На значимых, образцовых строениях будут показаны основные этапы развития архитектуры. При этом подход может осуществляться с разных сторон, например таких, как: возникновение и развитие внутреннего пространства, пространство и постройка, особенности пространства (например, продольное и центральное пространства), характер пространства как отражение религиозного содержания и т. д. На примере развития архитектуры должны быть освещены культурно-исторические и философско-исторические этапы развития человечества. Разумеется, рассмотрение архитектуры под этими или другими углами зрения должно быть доведено до современности.
Затем более основательного рассмотрения требует вопрос о смысле и сущности искусства. В качестве основы и отправной точки особенно хорошо подходят «Письма об эстетическом воспитании человека» Шиллера. Исходя из содержания их письма, можно связать с высказываниями об искусстве деятелей нашего столетия, например, Пауля Клее, и с эстетическими проблемами современного искусства.
В 12-м классе многое может дать большая поездка, связанная с искусством. Чтобы при этом не оказаться просто туристами, необходима собственная активность, например рисование памятников архитектуры или (еще лучше) практическое участие в небольших (общественных) строительных проектах.
(5) Философия
12-й класс
Основные аспекты и цели преподавания
Философскую постановку вопросов, естественно, рассматривают многие предметы в старших классах. Поэтому философия, как учебный предмет, должна охватывать многие предметы; преподавать ее должен учитель родного языка или учитель истории.
Предусмотренный для 12-го класса обзор (см. «Горизонтальный учебный план») может особенно полно и последовательно осуществляться в курсе философии как учебного предмета. У 18 — 19-летних молодых людей философская постановка вопросов становится личной потребностью. Они хотели бы посмотреть на изученное ранее как бы «свысока». Теперь большую значимость приобретают проблемы нахождения собственного «я», а личная перспектива расширяется, приобретая масштабы общечеловеческой. В преподавании философии в 12-м классе речь не может идти об увеличении объема сухого, университетского знания — здесь философию скорее, следуя ее названию, нужно понимать как «любовь к мудрости».
Подходы и лейтмотивы преподавания
Учеников, например, подводят к таким размышлениям, в ходе которых они учатся не только узнавать, но и понимать ответы на основные вопросы человечества. С помощью анализа текстов, свободного разговора и домашних сочинений должен воспроизводиться философский ход мыслей; эти мысли ученики должны учиться упорядочивать и оценивать (см. «Родной язык»). С помощью этих заданий ученики должны научиться четко отвечать в первую очередь на свои собственные, большей частью скрытые, вопросы. Таким образом, они должны, говоря словами Канта, учиться не философии, а «философствованию».
Возможное содержание преподавания
Введение
Происхождение философской постановки вопросов.
Особое положение философии в сравнении с другими науками.
Философская постановка вопросов в учебных предметах родной язык, история, искусство, религия и т. д.
Познающий человек
Основные проблемы теории познания (субъект — объект — противоречие) и попытки их разрешения, например, в рамках критического рационализма, позитивизма и скептицизма.
Теории истинности.
Действующий человек
Исходные вопросы о свободе человека.
Абсолютные и реальные ценности (быть — долженствовать).
Связь проблематики свободы со взглядами отдельных философов (Сократ, Платон, Кант, Ницше, Ясперс, Штейнер).
Ответственность ученого.
Избранные темы
Историческая философия.
История становления сознания человечества на основе философской
постановки вопросов (см. учебную программу «История»).
Чтение «Воспитания пола у человека» Лессинга и «О происхождении
и целях истории» Ясперса.
Философия языка
Противопоставление старых и новых теорий языка (например, Гумбольдт и Уорф).
Сущность языка как основа собственных познаний о языке (краткий взгляд на современную лирику; см. «Родной язык»).
Философская антропология.
Сущность человека в различных культурах и религиях.
Проблема разделения полов.
Проблема смерти.
Трагизм ограниченного человека.
Эстетика.
Материал и форма в искусстве.
Прекрасное как посредник (чтение Шиллера: «Письма об эстетическом
воспитании пола у человека», в отрывках)
Философия государства.
Сравнение различных взглядов на государство, право и силу из
истории философии (Платон, Аристотель, Макиавелли, Руссо).
Изучение утопий об устройстве государства (например, Платон, Мор и т. д.).
(6) Религия
1 — 12-й классы
Право выбора в вопросе о преподавании религии сохраняется за родителями или за опекунами и, в зависимости от возраста, — за самими учениками.
Преподавание религии в школе включается в учебный план для школьников римско-католического, евангелического вероисповеданий, а также Общины христиан. Если группы представителей одной конфессии оказываются слишком маленькими, то ученики, по договоренности, выбирают какой-нибудь другой предмет, а «свое» религиозное образование получают вне школы.
Вальдорфская педагогика, возражая тем родителям (опекунам), которые не хотят для своих детей религиозного образования, и ученикам, желающим от него отказаться, утверждает, что человек не должен расти, без заботы о благоговении, о силе характера и о религиозности. Именно они образуют фундамент морального и общественного поведения. Не может быть полноценным ни одно образование, исключающее область религии, потому что религия и культура неразрывно связаны друг с другом. Молодой человек будет воспитан свободным лишь тогда, когда он, имея широкую основу для свободного решения в зрелом возрасте, сможет или выбрать вероисповедание, или отказаться от религии. Поэтому ученикам, которые не должны принимать участие в конфессиональном обучении, вальдорфская школа предлагает свободное христианское религиозное обучение. Оно строится на принципах вальдорфской педагогики и включается в разработанные для каждого класса горизонтальный и вертикальный учебные планы:
Развитие и забота о религиозном восприятии всех явлений мира; пробуждение чувства благоговения перед Божественным, человеческим и природным.
Основательное знакомство с христианскими традициями, легендами, Ветхим и Новым Заветом; с христианским годом и его праздниками.
Развитие христианства; обзор мировых религий, понимание веры и культа мировых религий.
Этические вопросы современной жизни; совесть и внутренняя ответственность отдельного человека; вопросы судьбы на основе биографий; подготовка молодого человека к жизненным решениям.
Преподавание осуществляется учителями вальдорфской школы.
(7) Арифметика и математика
1 — 8 классы
Основные аспекты и цели преподавания
«В вальдорфских школах при обучении арифметике принято деление на три ступени. На первом этапе, охватывающем пять первых школьных лет, арифметика извлекается из еще тесно связанной с жизненными функциями ребенка областями деятельности и постепенно переводится в направлении изнутри наружу. На втором этапе, в 6 — 8-м классах, в свои права вступает прежде всего практический аспект.
...Переход к третьей ступени, к 9-му классу, характеризуется появлением рационалистического подхода». Так описывает Г.фон Баравалль, первый учитель математики в вальдорфской школе, в своей книге «Обучение счету и вальдорфская школьная программа» построение этого предмета.
О первой ступени
Здесь сначала надо ответить на два вопроса:
Как происходит первоначальное формирование математических понятий?
2. Как следует способствовать закреплению это формирования математических понятий с
учетом психического развития?
К вопросу 1. Формирование арифметических и геометрических понятий при ближайшем рассмотрении оказывается очевидно связанным с восприятиями и опытом собственной системы движений. Счет — это уже «внутреннее воспринимаемое движение». Э. Шуберт (E. Schubert, Stuttgart, 1976) называет это «смысловым содержанием преподавания математики». Результаты исследований Пиаже (Piaget) по интеллектуальному развитию детей также совпадают с подобными представлениями: в «фазе конкретных операций» (до 12— 13-го годов жизни) ребенок совершает движения, если он должен связать одно с другим. Однако эти движения также связаны с вещественно-конкретными восприятиями, от которых ребенок или отрывается с трудом, или еще не может оторваться.
Это приводит к ответу на 2-й вопрос. Если в тот отрезок времени, о котором идет речь, формирование математических понятий еще связано с конкретными восприятиями, то целью преподавания не может быть «обобщение и абстрагирование», она должна звучать как «конкретизация и рассмотрение отдельных случаев» (см. Schubert, а.а.о.). Этим обозначается путь, который делает возможным не просто знакомство ребенка с абстрактными, логическими структурами, а введение его со всей его способностью к переживанию в математизирование. Здесь следует указать на связь математики или необходимых для занятия математикой осознанных движений руки с рисованием форм, где это осознание конкретно тренируется и культивируется. Такой деятельный опыт ребенка является основой и предпосылкой здорового восхождения на «ступень формальных операций» (Пиаже). Правило «От руки через сердце к голове» (именно это подразумевается под выше сказанным: «всей его способностью к переживанию») позволяет детям задействовать собственные способности. «Оказывается, что самые лучшие, самые плодотворные вопросы задают ученики, у которых эти вопросы возникают не из-за быстрого разума, а исходя из потребности перехода от эмоциональной заинтересованности к ясности мышления» (B. Ulin, Stuttgart, 1987, S 276).
К такому конкретному подходу к математике в начальной школе следует добавить еще один момент, не связанный с элементом движения. Это — вопрос качественного переживания (можно сказать, переживание сущности отдельного числа).
Если в случае счета акцент делался на количестве, как на результате остановившегося движения ,или на самом движении, то при введении понятия числа на место количества следует поставить качество. К этой качественной стороне числа мы приближаемся, когда на многих примерах прослеживаем, как соответствующее число действенно в мире — например число 5 в цветке розы и т. д. (см. по этому вопросу: E. Bindel «Die geistigen Grundlagen der Zahlen» – «Духовные основы чисел»). Здесь мы снова апеллируем к потребности ребенка задавать вопросы о мире и о произведениях человеческих рук, т. е. к поиску того, что скрыто за явлениями. Специалист в области атомной физики В.Гайтлер (W. Heitler) имеет в виду это, говоря в одной из своих лекций: «Мы направляем внимание на качественные явления, на свойства, имеющие отношение к целостности наблюдаемых явлений». Рудольф Штейнер рекомендует считать этой отправной точкой при введении понятия числа: «Ведь мы в ходе развития цивилизации постепенно пришли к тому, чтобы проводить работу с числами определенным, синтетическим образом. У нас есть одна целостность, вторая целостность, третья целостность, и мы пытаемся в ходе подсчета, аддитивно, присовокуплять одну к другой так, чтобы, в результате нашего счета, одна ложилась рядом с другой. Но этот процесс, как можно убедиться, не встречает у ребенка внутреннего понимания. Чисто человеческие моменты не находят здесь своего выражения и развития. Да, счет исходит из единицы. Число «два», однако, не является внешним повторением единицы; оно уже находилось внутри единицы. 1 дает 2, и 2 заключено внутри 1. 1 дает 3, и 3 заключено внутри 1. Если мы начинаем писать на современный лад 1, то, переходя к 2, мы не выходим из единицы. Мы сталкиваемся с органическим формированием: 2 будет внутри 1, как и 3 и т.д. Единица охватывает все, и числа являются органическими составляющими единицы» (R. Steiner, GA 303, 9. Vortrag).
Это «сущностное» рассмотрение подводит нас, среди прочего, к написанию чисел, к цифрам. Они не являются образами в смысле букв (см. «Родной язык», письмо). Это — образы качества числа. Так, образ оказывается связанным с сущностью числа, а не с внешней формой цифры. (см. E. Bindel «Die geistigen Grundlagen der Zahlen»). Здесь следует указать на более широкие задачи этого «качественного» преподавания. Именно сегодня, когда мы сталкиваемся с результатами чисто количественного подхода к миру в виде катастроф и разрушения окружающей среды, рекомендуемому отношению к преподаванию арифметики следует придавать особое значение.
Опираясь на конкретное, качественное рассмотрение чисел и процесс движения при счете, можно развить у ребенка ту форму мышления, которая ищет и находит путь к реальности.
Теперь мы подходим ко второму этапу. Речь идет о практическом применении математики.
Если на первом этапе мы достаточно основательно проработали все упомянутые аспекты, то «прикладная математика» приобретает качественную окраску. Нельзя сказать, что силы мышления, обслуживающие торговый счет, исчисление налогов и процентов, не имеют ценности – они могут иметь взвешивающую, проверяющую и оценивающую окраску. Последствия продуманного могут и должны становиться значительными для человека.
В этой связи следует указать на рекомендацию Рудольфа Штейнера вводить в преподавание математики и элементы бухгалтерского учета. Полностью смысл этого указания становится ясен при ответе на вопрос о том, формирование каких способностей стимулируется этой деятельностью (см. M.Brater / C. Munz, «Die pädagogische Bedeutung der Buchführung» –«Педагогическое значение ведения бухгалтерского учета», а также E/ Schuberth, «Der Mathematikunterricht in der 6. Klasse an Waldorfschulen» – «Преподавание математики в 6-м классе вальдорфских школ», Stuttgart ,1995). При этом может быть показано, как с помощью такого инструментария в первую очередь решительно подкрепляется развитие моральной компетенции в области торговли.
Все вышесказанное позволяет вывести следующие общие цели преподавания на будущее: благодаря внутренней подвижности при решении математических задач возникает способность фантазии.
Воспринимая качества чисел, ребенок испытывает доверие и уверенность: число — мир — человек взаимно принадлежат друг другу.
Дальнейшую уверенность в арифметике ребенок может обрести, правильно решая задачу. Тем самым он достигает определенной степени независимости. «Поэтому математика представляет собой поле для упражнений, пригодное для освобождения школьников от привязанности к авторитетам, и в том случае, если они сначала зависят от помощи учителя.» (B. Ulin, a.a.O., S 240).
И, наконец, должна быть названа еще одна цель преподавания, которую нельзя недооценивать. Она связана с предыдущей. Счет невозможен без постоянного упражнения, и потому он представляет собой великолепное средство для обучения воли.
Детальное изложение третьей ступени будет дано в разделе «Общие цели преподавания математики для старших классов», и поэтому здесь этот вопрос не рассматривается.
Геометрия, как часть математики, начинается в 5-м или 6-м классе и преподается отдельными эпохами. Одной из руководящих идей этого предмета является развитие пространственного воображения.
В геометрии «свободной руки» (без геометрических инструментов) ученики, оценивая пропорции и соотношения, упражняются в точности движений, хорошо подготовленной рисованием форм в четыре первых школьных года.
Основные способности, знания и методы усложняются в соответствии с возрастом (частично предметы перекрываются).
Ученик должен учиться все больше ощущать геометрические закономерности, мысленно их улавливать и использовать для того, чтобы с помощью рисунка найти путь к решению задачи.
Использование геометрических инструментов должно приводить к однозначному и точному построению (изображению).
Развитие терпения, тщательности, точности, а также самостоятельных и творческих действий должно сопровождаться радостью от выполненных построений.
1 – 3 классы
Подходы и лейтмотивы преподавания
Динамика волевой активности должна переходить во внутренний план по мере накопления опыта в арифметике. Образное изложение качеств чисел разбудит мотивацию. Важен именно этот двойной аспект: с одной стороны, тренировка телесности при помощи движений, преобразование двигательных способностей (грубой и тонкой моторики) и упражнения по координации. С другой стороны, перевод выполненных действий внутрь, в душевные действия (= арифметика). Основным средством для достижения этого является применение рисунков. Благодаря этому ребенок может внутренне усвоить то, что от него требуется. Чисто логико-символическое представление материала не сможет дать этого ни в коем случае. (Тем не менее следует всегда осознавать, что счет оказывается нацеленным на мир без образов — в противоположность введению букв.) Чтобы появилась возможность свободно обходиться с количественными представлениями, должно быть создано числовое пространство, в котором сначала учатся ритмично перемещаться, меняя исходный ритм счета. Это, наряду с прочим, приводит к развитию памяти, натренированной и сформированной ритмически-подвижным заучиванием столбцов таблицы умножения. Важно подходить к началу собственно счета по возможности конкретно и наглядно, учитывая лейтмотив «от целого к частям». Это значит, что следует установить верное соотношение между аналитическим и синтетическим мышлением. Работу темперамента следует организовывать в духе того, о чем говорилось на 4-м семинарском обсуждении (см. R. Steiner, GA 295). В конце 3-го класса должно быть уверенно освоено внутренне числовое пространство по крайней мере до 1020, причем здесь имеется в виду не только объем или количество, но в равной степени и качество чисел.
Возможное содержание преподавания
1-й класс
При обучении арифметике продвижение вперед идет аналитически, в духе приведенной выше цитаты Рудольфа Штейнера (см. «Общие цели преподавания». Исходя из «1» как единицы счета, качественным образом (см. там же) вводятся все остальные числа (цифры) от 1 до 10, которые в виде множества содержатся в единице. При написании цифр можно начать с более наглядных римских цифр, которые менее абстрактны, чем арабские (см. R. Steiner, GA 311, 5. Vortrag), или вводить арабские цифры, подобно буквам, на соответствующих рисунках.
Счет в цифровом пространстве от «1» до «110».
Ритмические упражнения и усвоение на память столбцов таблицы умножения до 7.
Введение четырех арифметических действий в цифровом пространстве до 20 и письменное представление этих операций с числами.
Различные виды чисел (cм. E. Schubert, Stuttgart ,1995, S. 159).
Начальные упражнения в устном счете.
2-й класс
Дальнейшие упражнения в устном счете.
Расширение числового пространства до 100 и упражнения в четырех основных арифметических действиях.
Комбинированные упражнения в счете.
Начальное рассмотрение взаимоотношений между числами (простые и составные числа).
Заучивание на память таблицы умножения до 12.
Графическое изображение столбцов таблицы умножения.
Запись аналитически и синтетически отработанных арифметических действий.
В течение всего года обращение арифметических действий, т. е. результат как их следствие (7 = 3 + 4).
3-й класс
Устный счет.
Арифметические действия в пределах 1020/1100.
Письменное сложение и вычитание многозначных чисел (система разрядов).
Письменное умножение на двузначное число.
Письменное деление на однозначное число.
Таблица умножения до 15 и 1 х 10 до 1 х 90.
Заучивание на память ряда квадратов.
Дальнейшее углубление ритмического обучения (числовые индивидуальности в их многообразных отношениях друг к другу).
Меры и веса (трудовое обучение!) и связанные с ними арифметические упражнения в небольших прикладных задачах.
4-й и 5-й классы
Подходы и лейтмотивы преподавания
По достижении девятого года жизни в ребенке происходит решительная перемена. Его неразрывная связь с окружающим миром становится иной, более дистанцированной. Прежняя гармония между окружающим и душевным миром рушится.
Это изменение в душевной жизни отслеживает и учебная программа обучения счету, подводящая ребенка в 4-м классе к работе с дробями. Причем в учебном материале ему встречается и что-то из того, что он уже узнал внутри собственного «Я».
Нельзя сразу начинать работу с дробями. Гораздо важнее, чтобы у ребенка возникновение «внешнего перелома» стало глубоким переживанием. При этом культурно-исторические данные о возникновении действий с дробями в Египте могут указать учителю интересные и существенные дидактические подходы (см. E. Bindel «Das Rechnen», S. 64 ff). Чтобы всесторонне рассмотреть область дробей, рекомендуется вводить эту тему трояким образом: от целого к части, от части к целому и проведением сравнений. После чего проводятся упражнения в четырех арифметических действиях с дробями, а затем с сокращением, преобразованием дробей и разложением знаменателя на сомножители.
Далее следуют действия с десятичными дробями. После перехода «предела делимости» ученики в 5-м классе могут открыть удобство работы с десятичными дробями.
Сформулированная Рудольфом Штейнером цель гласит: «Далее на 5-м году обучения в школе мы продолжим работу с дробями и с учением о десятичных дробях и при помощи всего связанного с ним донесем до ребенка то, что даст ему возможность свободно выполнять действия с целыми, дробными и десятичными числами». (GA 295, 2.Lehrplanvortrag).
Также в 5-м классе рисование форм может быть переведено в элементарные занятия геометрией. И опять-таки можно начать с исходных полярностей – круга и прямой. Чтобы ученик по возможности интенсивно пережил обе эти геометрические формы, рекомендуется сначала рисовать их без циркуля и линейки, от руки.
«Хотя в наших началах геометрии речь идет об элементарных вещах, важно дать ученикам прочувствовать и кое-что из того, что через полезное, практическое оказывается связанным также и с решением важнейших мировых и жизненных вопросов. Сделать это будет легче, если удастся почувствовать наряду с действующими в геометрии закономерностями и красоту ее форм и подчиняющуюся строгим правилам игру их взаимоотношений» (E. Bühler, Stuttgart 1985, S. 158 f).
В связи с рассказами из жизни Древнего Египта в курсе истории можно упомянуть о веревке с тринадцатью узелками для определения прямых углов, а учеников также можно будет впервые познакомить с теоремой Пифагора.
Возможное содержание преподавания
4-й класс
Устное выполнение арифметических операций.
Упражнения в письменных вычислениях с большими числами.
Введение дробей; осознание дроби как части целого. От части к целому; дробь как сравнение (связь с умножением).
Сложение и вычитание, умножение и деление простых дробей с одинаковыми и с разными знаменателями. Перевод неправильных дробей в смешанные числа ,и наоборот.
Введение десятичных дробей.
Повторение: четыре арифметических действия и письменное умножение и деление многозначных чисел.
5-й класс
Постоянная забота об устном счете.
Повторение: четыре арифметических действия с натуральными числами.
Вычисления с дробями:
преобразование и сокращение (разложение на простые множители);
наглядное представление дробей и их сравнение;
вычисления с десятичными дробями;
закрепление действий с дробями.
Ритмическое, подвижное и качественное введение.
Десятичное представление числа через:
представления о величине при десятичном представлении;
выяснение соответствий числа в десятичном представлении и десятичной дроби.
Текстовые задачи.
Геометрия (рекомендуется без циркуля и линейки)
Треугольник, квадрат, окружность, равнобедренный и прямоугольный треугольники.
Теорема Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника.
Описание взаимосвязи для понимания преобразований, но без доказательства.
6 — 8-й классы
Подходы и лейтмотивы преподавания
Если до этого понятия закреплялись в душевном мире через связанные с действиями образные ситуации, то примерно в 12 лет познанное все интенсивнее можно пронизывать силой логики, воспринимаемой теперь как естественная способность. Этот этап отчетливо виден в алгебре: от овладения расчетами он ведет к рассмотрению процессов расчетов и к познанию общих взаимосвязей.
«Смысл алгебраической формулы «буквенного вычисления» заключается в отражении закономерных, понятийных взаимосвязей, что является гораздо большим прогрессом в развитии ребенка, чем просто рассмотрение формул. Этим закладывается возможность перехода от связанного с представлениями мышления к понятийному... Ребенок должен в различных ситуациях пройти процесс: обсуждения конкретной задачи (проценты), решения задачи, выявления закономерности в процессе решения и, наконец, многообразного применения найденных закономерностей» (E. Schuberth, a.a.O., S. 166).
Когда ребенок приближается к возрасту полового созревания, мир его чувств расширяется во всех направлениях. В этом возрасте существенную помощь может оказать математика. Собственные, субъективные мнения не играют здесь никакой роли. Математика требует внимания не только к числовому и геометрическому материалу, но и прежде всего к собственному мышлению. Если в результате упражнений ученику удается добиться уверенного обращения с математическими законами, он обретает веру в собственные силы. Если это происходит, молодой человек оказывается на пути к достижению важнейшей цели преподавания математики: обретению веры в силу мышления.
Однако мышление может при этом оказаться односторонне связанным с тем, что его и породило — человеческим «я»; — и тогда это путь к эгоизму. Поэтому речь идет о том, чтобы развивать интерес к миру и направлять мышление на имеющие практическое значение жизненные потребности. Однако при этом важно, чтобы попытки решить задачи не приводили к заведомо беспомощному состоянию: «Я этого не могу», - потому что в этом случае преподавание математики приведет к отрицательному результату. Вместо радости и уверенности в своих силах возникнут отвращение и сомнения. Как ни один другой предмет, математика связана со способностями и мышлением («толковостью») школьника. Не справиться в таком случае с трудностями означает не справиться вобщем, просто быть «глупым».
Поэтому классы, в которые не проводился отбор учеников, ставят перед учителем особые методические, даже терапевтические вопросы и предъявляют к нему особые требования. В одном и том же классе он должен иметь дело с разной постановкой задач, которые, однако, должны иметь общую математическую основу или подводить к ней. Расчеты, производимые с практическими целями, дают в этом случае обширное поле для упражнений и деятельности учеников, и их можно представить почти как «науку жизни», открывающую ученикам доступ к различным ее областям. С помощью мыслительной работы, необходимой для решения расчетных задач, устанавливается активная связь с этими областями. В случае решения практических задач, с одной стороны, достигается близость к жизни и актуальность, а с другой, выявляются основополагающие взаимосвязи.
Арифметика — воспитание воли в сфере мышления. Поэтому часто, начиная примерно с 6-го класса, к эпохам арифметики добавляются часы упражнений в рамках непрерывного преподавания предмета.
В геометрии эстетическое в рисовании теперь вытекает не из динамики, а из порядка. Поэтому ученик должен научиться правильно пользоваться циркулем, линейкой и угольником. Из-за этих инструментов, однако, может возникнуть проблема: занятия геометрией будут рассматривають как нечто абстрактно-объективное, не вызывающее эмоций. Следует иметь в виду эту опасность и противостоять ей, постоянно удивляя учеников. Так первая геометрия с циркулем в 6-м классе оказывается геометрией удивления. Но чтобы это произошло, ученик должен научиться точно чертить. Его наставники —точность и красота геометрических фигур, ведущие к углублению мышления. То, что может быть пережито при содействии удивления на первых уроках геометрии с инструментами, в 7-м и 8-м классах должно быть пронизано мышлением. Геометрические законы находятся и формулируются. При этом язык геометрических доказательств постигается как адекватный данному предмету. Для учеников, находящихся в состоянии поиска собственной, индивидуальной формы речи и выражения, важно постичь форму, свободную от эмоциональности и связанную только с тем, что есть, а не с тем, что должно быть. В добавляющейся в 8-м классе геометрии конических сечений опять, как и раньше, при разговоре о параллельных прямых, возникает вопрос о бесконечности, которой, как и вначале, еще не может быть дано определение.
Возможное содержание преподавания
6-й класс
Постоянное продолжение устных вычислений.
Повторение: действия с натуральными числами, положительными числами в десятичном представлении и дробями.
Пропорции.
Исчисление процентов.
Применение исчисления процентов в торговых расчетах (исчисление процентов, дисконтные расчеты, взаиморасчеты, прибыль / убытки, учет, прибавочная стоимость и введение в связи с этим общей записи формулы Z = K·p·t/100.
Геометрия
Исходя из окружности: построение важнейших геометрических фигур (треугольника, шестиугольника, квадрата, ромба, параллелограмма, трапеции и фигур Пифагора с осевой симметрией).
Наглядно познаются основные геометрические построения: серединный перпендикуляр, биссектриса, опускание перпендикуляра, параллельный перенос.
Различные виды углов.
Треугольники и теоремы конгруэнтности (по крайней мере по 3 сторонам).
Теорема Фалеса (основное свойство окружности).
Вписанная в треугольник и описанная вокруг треугольника окружность.
Геометрическое доказательство (например, сумма углов треугольника).
7-й класс
Постоянные упражнения устных вычислений.
Повторение: четыре основных арифметических действия в области натуральных и положительных рациональных чисел.
Первые понятия о рациональном ведении учетных книг.
Целые и рациональные числа.
Введение целых отрицательных чисел.
Четыре основных арифметических действия с отрицательными числами.
Расширение в область рациональных чисел Q.
Четыре основных арифметических действия с рациональными числами и их связь; в связи с этим
Введение скобок.
Алгебра:
Линейные уравнения с одним неизвестным в области рациональных
чисел.
Алгебраические преобразования.
Степень.
Знакомство с формулами (a ± b)2, (a + b) × (a – b) и расчеты с ними.
Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня полных квадратов.
Текстовые задачи.
Возможно вычисление площадей.
Геометрия
Измерение углов в градусах.
Построения треугольников с описанием.
Дальнейшая проработка теорем конгруэнтности треугольников.
Различные углы: смежные, вертикальные, накрест лежащие, соответственные и т.д.
Геометрические места.
Динамическое преобразование фигур:
Процессы преобразования треугольников и четырехугольников
разрезанием и склеиванием (см. A. Bernhard, «Geometrie für 7. und 8.
Klassen an Waldorfschulen», Stuttgart 1993).
Касательные, вневписанный круг.
Пятиугольник, десятиугольник, многоугольник.
Сравнение площадей с помощью гномона.
Теорема Пифагора с точки зрения площадей.
Простые изображения перспективы и непрерывное укорочение (в связи с историей Нового времени).
8-й класс
Повторение:
Расчеты с дробями.
Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня.
Уравнения.
Практические задания.
Элементарная алгебра:
Умножение и деление полиномов.
Линейные уравнения.
Задачи на составление уравнений с одной переменной (одним неизвестным).
Преобразование и работа с формулами, полученными в геометрии:
Вычисление площадей и объемов – квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, куба, призмы, пирамиды.
Геометрия
Конгруэнтные построения и перенос углов, вертикальные, смежные углы, накрест лежащие и соответственные углы.
Линии мест точек, описывающие плоскости.
Построение треугольников по высоте, сторонам и биссектрисе.
Описание построений.
В качестве продолжения исследований по теореме Пифагора можно
обсудить на прямоугольном и обычном треугольниках теорему о
высоте и катетах (см. A. Bernhard, см. выше).
Дополнительно можно обсудить теорему о центральном и вписанных углах
(в ином случае — в 9-м классе)
Учение о геометрическом месте точек расширить до конических сечений, однако давать лишь геометрические определения (зачастую преподается только в 9-м классе).
Знакомство с золотым сечением (в связи с наукой о человеке) и платоновскими телами.
9 — 12-й классы
Руководящие подходы и общие цели преподавания
В центре математической деятельности — решение задач. Существенно то, как решается задача, а не то, какой ответ в ней будет получен. При подобой постановке вопроса школьная математика исходит из двух оснований: фантазии (индукции) на начальной стадии и логических выводов (дедукции) на более поздней стадии математической деятельности.
Важнейшей задачей будет развитие мыслительных способностей учеников – с широким диапазоном, от творческого поиска до логического вывода – и наделение их уверенностью в своих силах, в возможностях собственного мышления.
Одной из целей является обучение школьников применению арифметических методов в повседневной жизни и сообщение им необходимых предварительных сведений для продолжения образования после школы.
Для решения задачи важно научить учеников ставить некоторые части задания в неожиданную новую связь: важнее, чем разделение на отдельные области предмета (такие, как алгебра, учение о функциях и т. д. ), окажется постановка задач с разными эвристическими методами, чтобы «раскрутки», расчленения задачи.
Ученики должны тренировать способности отгадывания, проб, перебора вариантов при исследовании и выдвижении теории. Чтобы найти путь к решению, задачу можно упростить; помогает также проведение аналогий или, иногда, обобщение вопроса — в любом случае следует представлять, какой путь наиболее перспективный.
В случае повышения доли творческих заданий математика может приобрести жизненно важное значение для учеников этого возраста. Они получают возможность рассматривать свой собственный способ мышления во всем разнообразии отношений: искать исходные моменты, подбирать примеры и примеры, противоположные этим примерам, систематически исследовать вопрос и аргументировать результаты. Они учатся анализировать и оценивать условия и предпосылки.
Именно в математике, как в учебном предмете, может проявиться аспект вальдорфской педагогики, как искусства воспитания. Можно выстраивать плодотворный диалог между учителем и учениками, а также стимулировать диалог между самими учащимися. Учебная программа указывает цели и содержание преподавания, но непосредственная организация уроков зависит от предварительных знаний учеников и от их вопросов. При наличии этих условий очень хорошо, если учитель постепенно разрабатывает подходящий именно для данного класса набор проблем.
Важно, чтобы ученики смогли осознанно пережить пользу подобной работы. Самой большой бывает их удовлетворенность результатами, которые сперва выдвигались как предположение или догадка и которые удалось доказать.
Так как мышление является наиболее существенным отражением деятельности нашего «я», занятия математикой могут дать ученикам совершенно особые возможности для внутреннего развития и самопознания.
В геометрии, преподавание которой может проходить как в рамках эпох на главных уроках, так и в форме отдельных рабочих эпох:
проводятся упражнения по мысленным преобразованиям в трехмерном пространстве;
ученик должен учиться мыслить процессами; он должен отказаться от стандартного мышления и восприятия и привнести в свое мышление больше подвижности и открытости;
проводятся упражнения по различным способам изображения пространственной действительности —например, вертикальным параллельным проекциям, косым параллельным проекциям, аксонометрии и перспективе; исследование их осмысленного, целенаправленного применения.
9-й класс
Подходы и лейтмотивы преподавания
В новой теме —«Комбинаторика и исчисление вероятности» — с которой часто начинается 9-й класс, учащиеся могут узнать, что размышление над чем-то конкретным может выводить за пределы конкретного, к пониманию общих закономерностей. Это представляет ученикам поле для тренировки в формальном, логическом мышлении и, не требуя основательной подготовки в предыдущих классах (время классного учителя), делает возможным «новый подъем». Продолжение и углубление работы с уравнениям, благодаря легко воспринимаемой последовательности действий, дает широкие возможности для упражнения формального мышления. Наряду с этим существуют всевозможные формы арифметических расчетов, которые вовлекают учеников в интенсивную работу, а также вычисления площадей и объемов.
При работе с треугольником могут быть отработаны новые закономерности, выявляемые с помощью простых доказательств, причем используется уже известное (например, теоремы о конгруэнтности, 8-й класс). Продвижение вперед носит аналитический характер, от частного к общему, от геометрического построения до его доказательства. В геометрии начинается работа с коническими сечениями, которая может быть позже дополнена, она дает возможность благодаря многообразию построений прийти к глубинным понятиям и сформировать подвижные представления, которые в то же время подчиняются строгим закономерностям. В построениях (эллипсы, гиперболы или параболы) при помощи вспомогательных окружностей и прямых возникает понятие бесконечности, которое, в скрытом виде, встречалось уже с 6-го класса. Ученик должен также в результате упражнений прийти к ясному переживанию трехмерности пространства. Исходным пунктом при этом является куб, в котором наиболее отчетливо представлена трехмерность. Исходя из него, можно получать самые разнообразные формы. В ходе упражнений, в которых поэтапно совершаются изменения, должна развиваться и становиться более подвижной способность к представлению.
В качестве метода представления используется сечение наклонной плоскости.
При помощи биографий ученики знакомятся с теми личностями, чьим духовным наследством они пользуются (Паскаль, Ферма).
Постоянная практика в выполнении арифметических действий с иррациональными и несоразмерными величинами полярностей подготавливает объединение арифметического и геометрического материалов в аналитической геометрии (11-й класс).
В подходящий момент может быть введен калькулятор.
Огромное количество возможных вариантов содержания преподавания не дает возможности рассмотреть их полностью. Существенным для 9-го класса является «как». Речь идет о том, чтобы сделать доступной для переживания доказательную силу конкретных примеров применения общей закономерности.
Возможное содержание преподавания