Практическая работа
«Решение тригонометрических уравнений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1. Закрепить навыки определения типов тригонометрических уравнений (простейшее, квадратное относительно 
, однородное относительно 
и 
, уравнение, решаемое разложением на множители левой части).
2. Усвоить алгоритмы решения основных типов тригонометрических уравнений.
ОБОРУДОВАНИЕ: карты индивидуальных заданий, таблицы значений тригонометрических функций некоторых углов, таблицы частных случаев решения простейших тригонометрических уравнений, таблицы формул тригонометрии, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1. Ответить на контрольные вопросы:
а) Дайте определения арксинуса, арккосинуса арктангенса и арккотангенса числа а.
б) Перечислите свойства обратных тригонометрических функций.
в) Вспомните формулы, с помощью которых решают простейшие тригонометрические уравнения.
г) Какой вид имеет квадратное относительно тригонометрическое уравнение? Объясните алгоритм его решения.
д) Какой вид имеет однородное относительно и тригонометрическое уравнение? Какова методика его решения?
е) Вспомните формулы, с помощью которых решают простейшие тригонометрические уравнения.
2. По образцу выполнить тренировочные задания.
3. Изучить условие задания для самостоятельной работы.
4. Оформить отчет о работе.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ:
ПРИМЕР 1. Вычислите: 
.
РЕШЕНИЕ.
= 
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
Вычислите: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
ПРИМЕР 2. Решите уравнение: 
.
РЕШЕНИЕ.
По формуле частного случая: 
.
ПРИМЕР 3. Решите уравнение: 
.
РЕШЕНИЕ.
Разделим левую и правую части уравнения на 2: 
.
По формуле 
получаем: 
.
Разделим левую и правую части уравнения на 3: 
.
ПРИМЕР 4. Решите уравнение: 
.
РЕШЕНИЕ.
Выразим 
: 
.
По формуле 
получаем: 
.
Разделим левую и правую части уравнения на 
: 
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
Решите уравнения: а) 
; б) 
; в) 
.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1. Вычислите: 
.
2. Решите уравнения: а) 
; б) 
; в) 
.
Вариант 2
1. Вычислите: 
.
2. Решите уравнения: а) 
; б) 
; в) 
.
Вариант 3
1. Вычислите: 
.
2. Решите уравнения: а) 
; б) 
; в) 
.
Вариант 4
1. Вычислите: 
.
2. Решите уравнения: а) 
; б) 
; в) 
.
Вариант 5
1. Вычислите: 
.
2. Решите уравнения: а) 
; б) 
; в) 
.
Вариант 6
1. Вычислите: 
.
2. Решите уравнения: а) 
; б) 
; в) 
.
Вариант 7
1. Вычислите: 
.
2. Решите уравнения: а) 
; б) 
; в) 
.
Вариант 8
1. Вычислите: 
.
2. Решите уравнения: а) 
; б) 
; в) 
.
Вариант 9
1. Вычислите: 
.
2. Решите уравнения: а) 
; б) 
; в) 
.
Вариант 10
1. Вычислите: 
.
2. Решите уравнения: а) 
; б) 
; в) 
.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ:
ПРИМЕР 1. Решите уравнение: 
.
РЕШЕНИЕ. Применив основное тригонометрическое тождество: 
, получим:
,
,
.
Это уравнение является квадратным относительно . Обозначим 
, тогда 
. Полученное уравнение имеет решения
.
Составим два простейших уравнения:
и 
.
Первое уравнение решений не имеет, так как 
. Второе уравнение имеет решение:
,
.
Ответ: 
ПРИМЕР 2. Решите уравнение: 
.
РЕШЕНИЕ.
Так как по формуле приведения 
, а 
по формуле двойного угла, то
.
При помощи основного тригонометрического тождества заменим 2 на 
и получим:
,
откуда
.
Это уравнение является однородным относительно и . Разделив обе части полученного уравнения на 
, получим
.
Это уравнение является квадратным относительно 
. Обозначим 
, тогда 
. Полученное квадратное уравнение имеет корни 
. Из уравнения 
получаем
,
.
Из уравнения 
получаем
.
Ответ: 
ПРИМЕР 3. Решите уравнение: 
.
РЕШЕНИЕ.
Запишем данное уравнение иначе:
.
По формуле разности косинусов 
получаем:
.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому если 
, то 
; если 
, то 
.
Можно заметить, что вторая серия решений содержится в первой и иначе записать ответ.
Ответ: 
.
ПРИМЕР 4. Решите уравнение: 
.
РЕШЕНИЕ.
В правой части применим формулу приведения
,
,
.
Применим формулу разности синусов 
, тогда
.
Вынесем за скобки общий множитель:
.
Если 
, то 
; если 
, то 
, значит, 
.
Ответ: 
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
Решите уравнения: а) 
; б) 
; в) 
.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.
Вариант 1
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Вариант 2
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1. ;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Вариант 3
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Вариант 4
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Вариант 5
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Вариант 6
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Вариант 7
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1. 
;
2. 
;
3. ;
4. 
.
Вариант 8
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1. ;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Вариант 9
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Вариант 10
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.