Тема: «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.»

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 2
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

Практическое занятие № 4

Тема: «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.»

Цель: 1. Сформировать навыки вычисления площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла, в ходе решения упражнений.

2. Способствовать развитию логического мышления, памяти, внимания.

3. Способствовать привитию сознательного приобретения новых знаний по теме.

 

Теоретические сведения к практической работе:

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических и физических величин. Вычисление некоторой величины и, соответствующей промежутку а ≤ x ≤ bизменения независимой величины х выполняется по формуле S = .

Площади фигур.

у у

S х

х S

 

 

Если рассмотренная фигура не является криволинейной трапецией, тогда площадь нужно представить как сумму или разность криволинейных трапеций.

     
 

m

n

S1 S2

a b

S = S1 + S2 S = S amb – S anb

 

 

Методические указания к выполнению заданий:

Указание для задания № 1: для выполнения воспользуйтесь следующим алгоритмом

Алгоритм:

1) Сделать график заданных функций, ограничивающих площадь плоских фигур.

2) Найти пределы интегрирования.

3) Выяснить какой формулой площади плоской фигуры удобно пользоваться в данном случае.

а) Фигура, ограничена графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [ а,b] функции y=f (x), осью Ox и прямыми x=a и x=b:

S= ;

б) Фигура, ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [ а,b] функции y=f (x), осью Ox и прямыми x=a и x=b:

S= или S= |

в) Фигура, ограничена осью Ox, прямыми x=a и x=b, и графиком непрерывной на отрезке [ а,b] ,функции y=f (x), которая меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке:

S= - + |

г)Пусть требуется вычислить площадь фигур, ограниченной кривыми y= и y= , и прямыми x=a b x=b, где a b и [ а,b], то необходимо воспользоваться формулой:

S= dx

4) Вычислить площадь заданной фигуры.

Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0, у = 0, х = -3, х =2.

Решение:

1) х+2у-4=0 – прямая линия.

у=0 – ось ОХ, х = -3–прямая параллельная оси ОУ, проходящая через точку (-3;0).

х=2 – прямая параллельная ОУ (2;0), проходящая через точку (2;0)

х+2у-4=0;

х+2у=4 Þ у=-

х 0 4
у 2 0

 

 

2) Построим график функции:

 

 

у= -

 

 

 
Рис. 1

 

(ед2).

 

Пример 2: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Решение:

1)Вершина параболы:

2) Ветви вниз, корни 4х-х2=0 х(4-х)=0

х1=0, х2=4

3) х=5 – прямая, параллельная оси ОУ ,проходящая через точку (5; 0).

Если фигура располагается ниже оси ОХ, то ее площадь вычисляется по абсолютной величине (модулю):

 

 

     
 
Рис. 2

 

 

Разбиваем фигуру на две части :

 

 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ СТУДЕНТАМИ:

 

Вариант - 1 Вариант - 2

1. Найдите площади фигур, ограниченных линиями:
а) y= -x2 +9 и y=0 б) y= x2 и y= 2x+3 в) y= , y=0, x=1 и x=5     а) y= -x2 +16 и y=0 б) y= x2 и y= 4x-3 в) y= , y=0, x=1 и x=6

2. Вычислить площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке:
а) б)       в) в         а) б)   в)     , ,
Вариант - 3 Вариант -4

1. Найдите площади фигур, ограниченных линиями:
а) y= x3, x= -2,x=4 y=0 б) y= x2-x-5 и y= x-2 в) y= y=0, x= и x= а) y= , y= 0, x= , x=0 б) y= x2+5 и y= x+3 в) y= , y= 2x

2. Вычислить площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке:
а)   б)       в)       а)   б)   y= x3, x=0, x = 1   в)   , x=1, x = 2    
Вариант - 5 Вариант - 6

1. Найдите площади фигур, ограниченных линиями:
а) и б) и в) у= -х2+2х+3, у=3-х а) и б) и в) у= , у= -х2+4х-2

2. Вычислить площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке:
а)     y = -x2 – 4x, x= -3, x= -1   б)     , x=2, x=3   в)     y= x4, x= -1, x=1     а)   y = x 2 - 4 x + 5, x =0, x = 4 б)     y = 1 – x 3 , x =-2, x =1 в)   y = - x 3 + 2, x =0, x =1, y=0

Выполненную и правильно оформленную работу предоставить преподавателю.