1. Проведем анализ полноты приведенных в задаче условий с точки зрения возможностей ее решения.
2. Формализуем имеющиеся и недостающие сведения и представим их в терминах теории вероятностей.
3. Введём количественные значения вероятностей.
4. Проведем расчёты.
5. Оценим результат.
Требуемый в задаче ответ представляет собой версию по признаку пол. Версия носит типовой характер, поэтому возможные варианты известны до расследования конкретного преступления. По полу могут быть выдвинуты лишь две версии. При условии, что преступник был один, преступление совершено:
- либо женщиной (гипотеза №1 – обозначим Н1)
- либо мужчиной (гипотеза №2 - обозначим Н2).
Анализ на полноту имеющихся сведений показывает, что для решения задачи - установления пола преступника, недостаточно приведенной информации. Необходимо установить дополнительные сведения, которые заключаются в количественной характеристике версий и признака: частоте их встречаемости в процентах (в долях единицы это число соответствует вероятности).
Дополним исходные данные и введем количественную характеристику встречаемости версий и их связи с установленным признаком.
Версии имеют следующую встречаемость (априорную вероятность): среди всех лиц, совершивших этот вид преступлений, женщин убийц - 40%, мужчин - 60%.[11]
Связь между известным признаком (фактом) и версиями выражаются следующим образом:
- 3% женщин, из всех, совершивших убийства, убивают нанесением одного колото-резанного ранения в область сердца;
- 2% мужчин, из всех, совершивших убийства, убивают нанесением одного колото-резанного ранения в область сердца.
Теперь, в результате установленных количественных характеристик, задача может быть дополнена всеми необходимыми для ее решения данным и представляет собой образец задачи, которая имеет решение.
Задача №1.
Образец формулировки задачи.
Дано: Женщины совершают убийства в квартирах в 40%, мужчины - в 60%. Убийство совершено путем нанесения одного колотого ранения в область сердца. Определить пол преступника, если известно, что таким способом совершают преступления 3% женщин, и 2% мужчин.
Алгоритм решения.
Найти решение можно с помощью излагаемой в курсе теории вероятностей теоремы гипотез (Байеса). Введем обозначения, позволяющие сократить словесные формулировки до нескольких символов.
Женщины совершают убийства в квартирах в 40%, мужчины - в 60% – обозначим как априорную вероятность версий р(Н1)=0,4 и р(Н2)=0,6.
Убийство совершено путем нанесения одного колотого ранения в область сердца – это факт, который встречается при совершении преступлений 3-мя % женщин, и 2-мя % мужчин. Приведенные частоты примем в качестве условных вероятностей появления признака для каждой версии р(А/Н1) = 0,03 и р(А/Н2)=0,02.
Обозначение р(А/Н1) – читается так: при условии, что убийство совершено женщиной, вероятность использования способа в виде одного колото-резанного ранения в сердце, составляет 0,03.
Задача заключается в вычислении условной вероятности появления каждой версии, при наступлении события А: р(Нi/А).
Искомую вероятность р(Нi/А) можно найти по формуле
р(Нi/А)=(р(Нi)*р(А/Нi))/р(А),
где Р(А)=∑Р(Нi)*Р(А/Нi) – формула полной вероятности.
Найдем Р(А) по формуле:
р(А)=р(Н1)*р(А/H1)+р(Н2)*р(А/Н2).
Подставляя соответствующие значения получаем вероятность обнаружения признака при обоих версиях:
р(А)=0,4*0,03+0,6*0,02=0,024.
Далее находим условную вероятность совершения убийства женщиной:
р(Н1/А)= (рН1)*р(А/Н1))/р(А)=(0,4*0,03)/0,024==0,5.
Ответ получен, и задача решена. Вероятность совершения убийства женщиной составляет 0,5 (50%), мужчиной, соответственно 1-0,5=0,5 (тоже 50%).
Оценка результата. Полученный ответ необходимо интерпретировать и составить его словесную формулировку. Смысл примера в том, что сравнение следует проводить не между версиями, а между вероятностью каждой версии до установления признака и после учета влияния признака. То есть сравнивать следует априорные вероятности версий с апостериорными.
Такое сравнение показывает, что вероятность совершения убийства женщиной повысилась с 0,4 до 0,5. Вероятность убийства мужчиной понизилась с 0,6 до 0,5. Итак, установленный признак сдвигает наше мнение в пользу большей правдоподобности первой версии.
Комментарий: если таких признаков будет много и каждый сдвинет, например, на 0,1, то можно прийти к достоверному выводу, то есть получить вероятность одной из версий близкой к 1,0.