Вычисление погрешностей измерений.
В дальнейшем будем предполагать, что:
1) грубые погрешности исключены;
2) поправки, которые следовало определить (например, смещение нулевого деления шкалы), вычислены и внесены в окончательные результаты;
3) все систематические погрешности известны (с точностью до знака).
В этом случае результаты измерений оказываются все же не свободными от случайных погрешностей. Но случайная погрешность уменьшается при увеличении числа измерений.
Поскольку из-за наличия случайных погрешностей результаты измерений по своей природе представляют собой тоже случайные величины, истинного значения xист измеряемой величины указать нельзя. Однако можно установить некоторый интервал значений измеряемой величины вблизи полученного в результате измерений значения xизм, в котором с определенной вероятностью содержится xист. Тогда результат измерений можно представить в следующем виде:
(1) 
где Δx - погрешность измерений. Вследствие случайного характера погрешности точно определить ее величину невозможно. В противном случае найденную погрешность можно было бы ввести в результат измерения в качестве поправки и получить истинное значение xист. Задача наилучшей оценки значения xист и определения пределов интервала (1) по результатам измерений является предметом математической статистики. Воспользуемся некоторыми ее результатами.
Пусть проведено n измерений величины x. Тогда за лучшую оценку истинного значения результата измерений принимается среднее арифметическое значение
(2) 
где: xi - результат i -го измерения.
Для оценки случайной погрешности измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или средней квадратичной погрешности σ (ее часто называют стандартной погрешностью или стандартом измерений).
Средней квадратичной погрешностью называется величина
(3) 
где n - число наблюдений.
Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным колебаниям величина Sn стремится к постоянному значению σ:
Квадрат этой величины называется дисперсией измерений. Таким образом по результатам измерений всегда вычисляется не σ, а ее приближенное значение Sn, которое, вообще говоря, тем ближе к σ , чем больше n.
Все сказанное выше о погрешностях относится к погрешностям отдельного измерения. Однако важнее знать, насколько может уклоняться от истинного значения x среднее арифметическое , полученное по формуле (2) для n повторных равноточных измерений. Теория показывает, что средняя квадратичная погрешность среднего арифметического S равна средней квадратичной погрешности отдельного результата измерений Sn, деленной на корень квадратный из числа измерений n, то есть
(4) 
Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений.
Пусть α означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного на величину, не большую, чем Δx. Вероятность α в этом случае носит название доверительной вероятности, а интервал значений измеряемой величины от -Δx до +Δx называется доверительным интервалом.
Определим доверительный интервал. Чем большим будет установлен этот интервал, тем с большей вероятностью xист попадает в этот интервал. С другой стороны, более широкий интервал дает меньшую информацию относительно величины xист. Если ограничиться учетом только случайных погрешностей, то при небольшом числе измерений n для уровня доверительной вероятности α полуширина доверительного интервала (1) равна
(5) 
где tα,n - коэффициент Стьюдента.
Таблица 1.
Коэффициенты Стьюдента
α = 0.68 α = 0.95 α = 0.99
n tα,n n tα,n n t α,n
2 2.0 2 12.7 2 63.7
3 1.3 3 4.3 3 9.9
4 1.3 4 3.2 4 5.8
5 1.2 5 2.8 5 4.6
6 1.2 6 2.6 6 4.0
7 1.1 7 2.4 7 3.7
8 1.1 8 2.4 8 3.5
9 1.1 9 2.3 9 3.4
10 1.1 10 2.3 10 3.3
15 1.1 15 2.1 15 3.0
20 1.1 20 2.1 20 2.9
30 1.1 30 2.0 30 2.8
100 1.0 100 2.0 100 2.6
Смысл понятий "доверительный интервал" и "доверительная вероятность" состоит в следующем: пусть α =0.95, тогда можно утверждать с надежностью 95%, что истинное значение величины xист не отличается от оценки (2) больше, чем на +Δxсл. Значения коэффициентов tα,n в зависимости от α и n табулированы (см. табл.). Чтобы окончательно установить границы доверительного интервала необходимо расширить его с учетом систематической погрешности Δxсист. Систематическая погрешность, как правило, указана в паспорте или на шкале прибора, а в простейших случаях может быть принята равной половине цены деления младшего разряда шкалы. Обычно (хотя, строго говоря, и неверно) суммарная погрешность определяется как корень квадратный из суммы квадратов случайной и систематической погрешностей:
(6) 
Определенная согласно (6) величина Δx является абсолютной погрешностью. Очевидно, что при одном и том же значении Δx результат может оказаться достаточно точным при измерении некоторой большой величины, тогда как при измерении малой величины его точность будет недостаточной. Например, пусть имеется возможность измерять линейные размеры с погрешностью Δx=1 мм. Ясно, что это заведомо превышает необходимую точность при измерении, скажем, размеров комнаты, но измерение окажется слишком грубым при определении толщины монеты.
Таким образом, становится понятной необходимость введения относительной погрешности, которая определяется как
(7) 
и выражается, обычно, в процентах. Как видно, выражение (7) позволяет оценить величину погрешности по отношению к самой измеряемой величине.
Рассмотрим теперь случай, когда при повторении измерений в одних и тех же условиях устойчиво получаются одинаковые значения x=x0. В этом случае систематическая погрешность настолько превышает случайную, что влияние случайной погрешности полностью маскируется. Истинное значение x отнюдь не равно x0. Оно, по-прежнему, остается неизвестным, и для него можно записать x= x0+Δx, причем погрешность Δx определяется в данном случае воспроизводящимися от опыта к опыту ошибками, связанными с неточностью измерительных приборов или метода измерений.
Такую погрешность Δx, как отмечалось, называют систематической. Для более точного определения физической величины x в данном случае необходимо изменить постановку самого опыта: взять прибор более высокого класса точности, улучшить методику измерений и т.п.
При обработке результатов прямых (непосредственных) измерений предлагается следующий порядок операций.
1. Вычисляется среднее из n измерений:
2.Определяется среднеквадратичная погрешность среднего арифметического:
3. Задается доверительная вероятность α и определяется коэффициент Стьюдента tα,n для заданного α и числа произведенных измерений n по таблице 1.
4. Находится полуширина доверительного интервала (абсолютная погрешность результата измерений):
, где Δxсл = tα,n S.
5. Оценивается относительная погрешность результата измерений
6. Окончательный результат записывается в виде
x = < x > ± Δx.