Условные плотности распределения.

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 19

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Распределение Y, если X принимает какое-либо значение f(Y/X)

Распределение X, если Y принимает какое-либо значение f(X/Y)

Условная ф-ция и распределения.

Распред. X, при условии Y=y

f(X/y)= f(Y/x)=

Числовые характеристики:

1. Мат ожидание:

M[X]=m_x=

т. ожиданий. M{}

M[Y]=m_y т. ожиданий. M{}= т. ожиданий. M{}

т. ожиданий. M{}

2.Дисперсия

Св-ва:

M[ X + Y ]= M [ X ]+ M [ Y ]

M [ X * Y ]= M [ X ]* M [ Y ], если X и Y независимые

D [ X + Y ]]= D [ X ]+ D [ Y ], если X и Y независимые

3.Ковариация

4.Коэффициент корреляции

(Св-ва ковариации билет 13, св-ва корреляции билет 17.Нормальный закон на плоскости.

Двумерное нормальное распределение –это распределение системы двух случайных величин (X,Y) с плотностью распределения f(x,y), определяемой формулой.

Плотность распределения случ. вел X, f₁(x), вычисляется интегрированием f(x,y) по y:

Аналогично вычисляется плотность распред случ вел Y,f₂(y):

Формула (1) показывает,что в случае двумерного нормального распределения с плотностью (1) компоненты X и Y имеют нормальное распред, причем M[X]=m₁, D[X]=σ₁², M[Y]= m₂, D[Y]=σ₂²

Ковариация X и Y равна

cov(X,Y)=M[(X-m₁)(Y-m₂)]= Отсюда следует,что параметр ρ в (1) есть коэффициент корреляции

Св-ва:

1.Если (X,Y) имеет норм. распред.:

Каждая компоненты этого распределения также имеет нормал. распределение

2. Если ρ=0 => f(x,y)= * => X и Y – независимые

3.Условная плотность распределения:

f(X/y) и f(Y/x) – нормальные плотности

Геометрически плотность f(x,y) двуменого нормального распределения (1) представляет «холмообразную » поверхность. Проекция вершины холма на плоскость xOy имеет координаты (m₁, m₂) Эта точка называется центром рассеивания.

Сечение поверхности Z=f(x,y) плоскостями , параллельными плоскости xOy, есть кривые, определяемые ур-нием:

, где λ – const. Проекциями этих кривых на плоскость xOyбудут эллипсы. Т.к. плотность f(x,y) имеет на этих кривых постоянное значение, то соответствующие эллипмсы наз. эллипсами равных вероятностей

Эллипсы равных вероятностей имеют общий центр – центр рассеивания с координатами(m₁, m₂) и общие оси симметрии (они наз главными осями ξ и η)

18.Функции случайных величин. Вычисление мат ожиданий. Нахождение закона распределения для функции одной случайной величины, в случае дискретной и непрерывной случайной величин

Сиреневый учебник по кот ДЗ делали стр119

Функции дискретных случайных величин

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайногвеличины Х

y=φ(x)

y=φ(x)

Пример:

y=x³

x→y

y=x²

Функции непрерывных случайных величинаний. M {}

y=φ(x) – непрерывная дифференцируемая монотонная ф-ция

1.Монотонно возрастает (Лекции 13 рисунок)

{y<Y}равносильно{x<X}

{x<X}: F_x(x)=P(x<X)= - ф-ция распределения

P(y<Y)=G_y(y)-ф-ция распределения

g(y)=

2.Монотонно убывает

X>x

P(y>Y)=G_y(y)

g(y)=

Функция плотности вероятности для функции случайной величины

y=φ(x)

g(y)=