В качестве меры линейной зависимости между случ. величинами X и Y используют коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле
Св-ва коэфиициента корреляции:
1. 
Док-во: рассмотрим систему 2-ух случ. вел: (X,Y) Проведем нормировку (стандартизацию), т.е.
M[X]= mx D[X]=σx2 Xxнормиров= 
Нормированная величина – это тогда, когда
M[Y]=my D[Y]= σy2 Yyнормиров= 
mч=0, а σx=1
Cov(Xx,Yy)=M[{ 
}]*M[{ 
}]= 
2. Если X и Y – незав. случ. вел, то 
, причем обратное неверно
3.Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью: Y=aX+b, где a,b – const , a≠0,то 
Док-во:
Т.к M[Y]=aM[X]+b=amx+b, то имеем cov(X,Y)=M[(X-mx)*(Y-my)]=M[(X-mx)(aX+b-amx-b)]=M[(X-mx)a(X-mx)]=aD[X]
Вычислим дисперсию случ. вел. Y=aX+b D[Y]=D[aX+b]=a2D[X]
Таким образом, коэффициент корреляции равен:
Следовательно, 
=1, если a>1 и
=-1, если a<0
Т.е коэффициент корреляции является показателем линейной зависимости, но если ρxy=0. это не значит,что между ними нет никакой связи, это значит, что нет линейной зависимости.
Если коэффициент корреляции между случ. вел. X и Y равен 0, то говорят, что X и Y некоррелированны.
Некоррелированность случ. вел X и Y означает только, что между ними нет линейной зависимости и не означает статистическую независимость случ. вел X и Y.
16.Системы 2-ух непрерывных случ. вел. Определение ф=ции распределения и плотности, условные распределения, зависимость и независимость случ. вел. Числовые характеристики.
Пусть на вероятностном пр-ве (Ω,F,P) заданы непрерывные случ. вел X1=X1(ω), X2=X2(ω),.., Xn=Xn(ω), ω 
Ω.
Опр Совместной ф-цией распределения F(x1, x2,…, xn) случ. вел X1,X2,..,Xn наз-ся вероятность события [X1<x1;X2,x2;…;Xn<xn]: F(x1, x2,…, xn) =P [X1<x1;X2,x2;…;Xn<xn]
Фукция распределения:
F(X,Y)=P[X<x,Y<y]
Если пользоваться геом. интерпретацией системы образом случ. точки, то ф-ция распред. есть не что иное, как вер-ть попадания случ точки (X,Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (x,y), лежащий левее и ниже ее .(Лекция 12, рис)
()ки, то ф-ция распред. Е
1.Ф-ция распред. Есть неубывающая ф-ция обоих своих аргументов,т.е
При x2>x1, F(x2,y)≥ F(x1,y)
При y2>y1 F(x,y2) ≥F(x,y1)
2.Повсюду на -∞ ф-ция распред. равна нулю:
F(x,-∞)= F(-∞,y)= F(-∞,-∞)=0
3. F(x,+∞)=F1(x1(): распред. я обоих своих аргументов,т.е), F(+∞,y)=F2(y)
4. F(+∞,+∞)=1
2()Неотрицательная ф-ция n переменных f(x1, x2,…, xn) наз-ся совместной плотностью распределения случ. величин X1,X2,..,Xn , если их совместная ф-ция распределения может быть представлена в виде F(x1, x2,…, xn) = 
Геометрически функцию f(x,y) можно изобразить некоторой поверхностью – поверхность распределения. Если пересечь поверхность распред. Плоскостью, перелелльной плоскости XOY, и спроектировать полученное сечение на плоскость XOY, получится кривая, в каждой точке которой плотность расред. постоянна. угольника \ольник и площади прямоугольника \спределения и плоскостью Чщ
Плотность распределения имеет след. св-ва:
1. f(x1, x2,…, xn) ≥; (это ясно из того, что плотность распред. есть предел отношения двух неотриц. величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника)
2. 
=1; (геометрически это cв-во означает ,что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью XOY равен едицице.)
3.Если ф-ция определена, вектор попадет в некоторую область,тогда вер-ть определяется: P[(x1,x2,..,xn) G]= 
(геометрически вер-ть попадания в область G изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распред и опирающегося на область G.
Зная совместную плотность распределения f(x1, x2,…, xn) случ. вел X1,X2,..,Xn можно найти плотность распред. каждой случ. вел. Для двумерного вектора (X1,X2) с плотностью f(x1, x2) распределение случ. вел X1, f1(x1) равна f1(x1) = 
, а плотность распред. случ. вел. X2, f2(x2) равна f2(x2) = 
Опр Случ. величины X1,X2,..,Xn наз-ся независимыми, если для любых действительных переменных x1, x2,…, xn, F(x1, x2,…, xn) =F1(x1)* F2(x2)*…* Fn(xn), где Fi(xi)-ф-ция распред. случ. вел Xi, i=1,2..,n
Равносильное определение независимости случайных величин X1,X2,..,Xn записывается так f(x1, x2,…, xn) =f1(x1)* f2(x2)*…* fn(xn), где fi(xi)-плотность распред. случ вел. Xi, i=1,2..,n
f1(x)= 
f2(y)= 
X и Y независимы, если 
= f1(x)* f2(y)
X и Y независимы, если f(X/Y)= f1(x); f(Y/X)= f2(y)