Стандартизированное нормальное распределение и его свойство.
Норм.распр-е с нулевым мат.ожиданием и дисперсией,равной 1, назыв.стандартным норм.распр-нием:
Х~ N(0,1)
Ф-ла плотности j(х) станд.норм.закона равна
, -¥<x<¥
А функция распр-я:
Так как плотность распр-я станд.норм.закона j(х) симметрична относ-но оси ординат,то для ф-ции распр-я Ф(х) справедливо след.св-во: Ф(-х)=1-Ф(х)
Зн-я функции Ф(х) использ.при вычислении вер-ти попадания норм.распр-ной случ.величины Х в заданный интервал:
В практич.задач часто приходится вычислять вер-ть попадания случайной величины Х~ N(m,s2) в интервал, симметричный относительно ее математического ожидания m:
Используя получ.рез-тат,вычислим вер-ть отклоенения от мат.ожидания норма.распр-ной случ.вел-ны на вел-ну,равную трем средневкадратич.отклонениям, 3s:
P[|X-m|<3s]=2Ф(3)-1»2*0,9987-1»0,9973
Этот результат известен как «правило трех сигм»: с вер-тью 0,9974(практически =1)зн-е нормально распределенной случ.вел-ны лежит в интервале (m-3s;m+3s)
Правило трех сигм это правило часто используется для подтверждения или отбрасывания гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
13. Системы дискретных случайных величин. Таблица распределения. Независимость. Ковариация. Механическая интерпретация. Условные распределения.
Рассмотрим две случайные величины X и Y, определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве (Ω,F,P). Обозначим значения, кот. принимает случ. величина Х через х1, х2, …, хn, а значения случ. величины Y через y1,y2,…,yn. Распределение вероятностей X и Y обозначим соответственно pх1, pх2, …, pхn и py1, py2, …, pyn. Вер-ть события, состоящего в том, что Х=хi и Y=yj, обозначим как P[X=xi; Y=yj]=pij.
Опр Система равенств P[X=xi; Y=yj]=pij, pij>0, 
, pij=1, i=1,2, .., n, j=1,2,..,m определяет совместное распределение дискретных случайных величин X и Y или системы 2-ух дискр. случ. величин (X,Y).
Распределение системы 2-ух дискр. случ. вел. (X,Y) записывают в виде таблицы распределения.
Таблица (1)
Суммируя вер-ти pij по строкам, получим рапределение случ. вел X: 
, i=1,2, .., n, суммирование вер-тей pij по столбцам дает распределение случ. вел. Y: 
, j=1,2,..,m. Аналогично определяется распределение системы более чем 2-ух случ. вел.
Условные распределения: Условная вер-ть события Х=хi при условии, что Y=yj (pyi>0) определяется формулой 
(1). Система равенств (1) при , i=1,2, .., n задает условное распределение случ. вел. X при условии,что случ. вел Y принимает заданное значение Y= yj.
Опр Определение независимости случ. величин. Пусть таблица (1) суть таблица распределения случ. вел X и Y. Случ. вел-ны X и Y наз. независимыми, если события X=xi и Y=yj независимы для всех i и j таких, что 1≤i≤n, 1≤j≤m, т.е. 
или pij= 
.(если это условие не выполняется , то величины зависимые) Если X и Y независимые случ. вел., то таблица распределения (1) имеет вид таблицы умножения. Аналогично определяется взаимная независимость более чем 2-ух случ. вел. Для независ. случ. вел. Условные вер-ти равны безусловным вер-тям 
= 
, 
