1 2 / 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики.

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 20

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Пусть (W,F,P) – дискретное вероятностное пространство.

Числовая ф-ция Х=Х(W) определенная на пространстве эл.соб-й Wназывается дискретной случ.величиной.

Сис-ма равенств: P[x=x_i]=р_i, ш=1,2…n,.. определяет распределение вероятностей дискретной слу.величины Х. Очевидно,что р_i≥0, å р_i=1

Простейшей формой закона распределения дискретной величины является ряд распределения.

X_i	x1	x2	x3	…	х_n	…
P(x=x_i)	P1	P2	P3	…	p_n	…

Графической интерпретацией ряда распределения является многоугольник распределения.

Функция распределения случайной величины.

Для непрерывных случайных величин применяют такую форму закона распределения, как функция распределения.

Функция распределения случайной величины Х называется ф-ция F(х), определяемая для любого действительного зн-я х,как вер-ть события [Х<х], т.е. F(х)=Р[Х<х].

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 0≤F(х)≤1

2. F(x)- неубывающая ф-ция х, если если х₂>х₁,то F(х₂)>F(х₁)

Функция может быть изображена в виде графика. Для непрерывной величины это будет кривая изменяющееся в пределах от 0 до 1, а для дискретной величины - ступенчатая фигура со скачками.

Числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины.

Пусть Х- дискретная случ.величина,принимающая зн-я х₁,х₂.. с вероятностями р₁,р₂.. Математическое ожидание M[x] случ.величины X определяется формулой

Свойства мат.ожидания:

1) с=const

M[c]=c

2) M[c*X]=c*M[X]

3) M[c+X]=c+M[X]

4) M[X+Y]=M[X]+M[Y] мат.ожидание суммы равно сумме мат.ожиданий

Х- некая дискр.случ.вел-на. Рассмотрим h(X) – функцию от Х.

Примеры h(X): x², sin x, ln x (если х>0)

Мат.ожидание функции случ.вел-ны:

Дисперсия

Дисперсия ( D [ x ]) характеризует разброс случ.величины Х относительно ее математического ожидания и вычисляется:

Дисперсия случайной величины всегда величина положительная.

Среднеквадратическое отклонение.

Св-ва дисперсии:

1) D[X]≥0

2) D[c]=0, если случ.вел-на Х постоянна

3) D[X]=0

4) D[cX]=c²D[X], где с=const

5) D[X+c]=D[X]

6) D[X+Y]=D[X]+D[Y]

Начальным моментом k -го порядка α_k случайной величины X называется математическое ожидание k-ой степени случайной величины X.

, α=1,2,3..

k=1 α₁=M[X]=m

k=2 α₂=M[X²]

Центрированная случайная величина - это величина, равная X’=X-MX

Покажем, что математическое ожидание MX’ равно 0.

Центральным моментом k -го порядка μ_k случ.величины Х называется матем.ожидание k-ой степени отклонения Х от ее мат.ожидания m

, k=1,2,3…

Модой d_x дискретной случайной величины, принимающей зн-я x₁,x₂.. , называется такое зн-е случ.величины,кот.имеет наибольшую вер-ть: P[X= d_x]=max P[X=x_k] (при условии что x_k –единств.зн-е,удовлетвор.этому условию.

Медианой h_x случайной величины называется такое ее значение, для которого окажется ли случайная величина меньше этого значения. Квантиль порядка р=0,5 назыв. медианой h_x случ.вел-ны Х ( h_x =х_0,5)

Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределяется пополам.

7.Повторение испытаний. Схема Бернулли. Биномиальное распределение. Формула Пуассона

Последовательные испытания наз-ся независимыми, если вероятность осущ-я любого исхода в n-ом по счету эксперименте не зависит от исходов предыдущих испытаний.

Схема испытаний Бернулли:

1. послед-ть независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех»);

2. эксперимент проводится n раз в неизменных усл-ях, т.е. вероятности «успеха»(p) и «неуспеха»(1-p=q) неизменны.

n-число испытаний, k-число благоприятных исходов, событие А – «успех», Х – случ.величина, обозначающая число «успехов» в n испытаниях по сх. Бернулли (Х=0,1,2,…n).

- формула Бернулли, где C_n^k-число случайного размещения события А в послед-ти из n мест.

Соответствующее распр-е случ.вел.Х наз-ся биномиальным распр-ем. Свойства бином.распр-я:

1. ;

2. -матем.ожидание

3. -дисперсия.

Приближенная формула Пуассона: . При , при условии (-интенсивность потока): = = ; .

· 9.Производящие функции вероятностей.

· G(z)=P₀+P₁z+P₂z+…+P_kz^k…=M[z^k]

_·G(1)= (кси) =1

· G’(z)=P₁+2P₂z+3P₃z²+…+ KP_Kz^k^-1

· G’(1)=M[x]=m

· G”(z)=2P₂+6P₃z+…+k(k-1)P_kZ^k-2

^·G”(1)=∑k²P_k - ∑kP_k

_· _k₌₀_k₌₀Биномиальное распределение

· X=0,1,2,…n –бином-ое распредел.

^·Pk=P[x=k]=C^k_nP^kq^n-k

· G(z)=P₀+P₁z+P₂z+…+P_kz^k…=∑ C^k_nP^kq^n-kz^k=

^·=∑ C^k_n(pz)^kq^n-k=(pz+q)ⁿ

· G’(z)=n(pz+q)^n-1p

· G’(1)=M[x]=np

^·G”(z)=n(n-1)( pz+q)^n-2p²

^·G”(1)=n(n-1)p²

_·M[x]=np = ∑kP_kD[x]=npq = ∑(k-np)²P_k

· Распределение Пуассона

^·P_k=P[x=k]= (λ^k\k!)e^-^λ

^·G(z)= ∑(λ^k\k!)e^-^λz^k=e^-^λ∑( λz)^k\k!= e^-^λ e^zλ= e^λ⁽^z^-1)

· G’(1)= e^λ⁽^z^-1) λ

· G’(1)= λ= M[x]=m

^·G”(z)= e^λ⁽^z^-1) λ²

· G”(1)= λ²

· M[x]=λ D[x]= λ²+ λ- λ²= λ

· Геометрическое распределение

· X=0,1,2….

· P_k=P[x=k]q^kp

· G(z)= ∑P_kz^k=∑q^kpz^k=p∑(qz)^k=P*1\(1-qz)=P\(1-qz)

^·M[x]=1\p D[x]=q\p²

· 10.Вероятность в непрерывных пространствах элементарных событий и ее свойства. Геометрические вероятности

· Пусть - непрерывное простр-во.

· Алгебра событий (F) – это система подмножеств , кот.удовл-ет следующим свойствам:

· 1. ;

· 2. A,B F => A+B F, AB F, не А и не В CF;

· 3 . F явл-ся сигма-алгеброй, если определены операции.

· Пусть событие А F, тогда Р(А) – вероятность, число, которое должно удовл-ть: 1. Р(А)>=0; 2. P( )=1; 3. A+B F => P(A+B)=P(A)+P(B). Свойства вероятностей:

· 1. - вер-ть невозможного события

· 2.

· 3. - если А-следствие В, то Р(А)<=Р(В).

· 4. P(A+B)<=P(A)+P(B)

· 5. непрерывности:

· если А1, А2,…, Аn,…: , то ;

· если , то .

· Геометрические вер-ти, Для любого подмножества А можно посчитать его площадь: Р(А)=площ.А/площ.

· Т.к. вер-ть пропорцион-на площади, то чем > лощадь, тем > вероятность попадания в событие.

· P(A)=mes(A)/mes( ) – мера А/мераS.

11.Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения, и их Свойства. Механическая интерпретация. Свойства мат. Ожидания и дисперсии. Квантили. Мода. Медиана. Асимметрия и эксцессСлучайная величина Х называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная частично-непрерывная функция f(x) , удовлетворяющая для любых значений x равенству (случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал). f_x - плотность распределения вероятностей (плотность распр-я единичной массы на инт-ле). Св-ва:

если x [a;b]: 1. f(x)>=0; 2. ; ;

если : 1. f(x)>=0; 2. ; - норм.распр-е.

F ( x ) – ф-я распределения для непрер.случ.величин, определена на всей числовой оси, ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х. Свойства:

1. 0 <=F(X)<= 1

2. F(- )=0

3. F(+ )=1

4. F(X)-неубыв.ф-я

6. F(X)=dF(X)/dx

7. - вер-ть попадания в отрезок [c;d].

Мат.ожидание: , , где f(x)dx=P[x<X<x+dx] – элемент вер-ти. Свойства:

1. M[cX]=cM[X]

2. M[c+X]=c+M[X]

3. M[X+Y]=M[X]+M[Y]

4. = ,

Дисперсия: , .Начальный момент k-го порядка - ;

Центральный момент k-го порядка - .Асимметрия - , где - ср.квадратич.отклонение

Эксцесс – хар-ет форму распред-я в окрестности вершины

Квантиль – абсцисса (точка на оси х), которая слева от себя отделяет площадь под графиком плотности, равную Р. F(x_p)=P – порядок квантили. 1. ; 2. . Квантиль порядка 0,5 – х_0,5 – для любого распр-я наз-ся медианой ( h ) (отделяет ½ площади под плотностью слева и справа). Если распр-е симметрично, то h совпадает с мат.ож. m.

Мода (d) – абсцисса, при кот. плотность распр-я имеет максимум: f(d)=max

- моды нет (несколько лок.максимумов)

12. Нормальное распределение. Вероятность попадания в интервал, симметричный относительно мат. ожидания. Асимметрия и эксцесс распределения. Вычисление центрального момента порядка k. Стандартизированное нормальное распределение и его свойство. Правило трех сигм.

Нормальное распределение N(m,s²) имеет плотность, определяемую формулой: