46Функции случайных величин. Числовые характеристики функций случайных величин. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин.

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 14

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Пусть некоторая случайная величина Х подвергается детерминированному преобразованию j, в результате которого получается величина У. Рассмотрим задачу определения числовых характеристик и закона распределения получаемой в результате преобразования случайной величины У.

Числовые характеристики функции случайного аргумента.

Рассмотрим случайную величину Y, зависящую функционально от случайной величины X с известным законом распределения F(x): Y=φ(X).

Если Х – дискретная случайная величина и известен ее ряд распределения имеет вид:

Определяем вероятности появления различных значений случайной величины У

Тогда математическое ожидание случайной величины Y определяется так:

(9.1)

Если случайная величина X непрерывна и имеет плотность распределения f(x), то заменяя в формуле (9.1) вероятности p_i элементом вероятности f(x)dx, а сумму – интегралом, получаем:

. (9.2)

Для смешанной случайной величины выражение для математического ожидания преобразуется к виду:

(9.3)

Соотношения (9.1), (9.2) и (9.3) – общее понятие математического ожидания, позволяющее вычислить математическое ожидание для неслучайных функций случайного аргумента. Например, дисперсия случайной величины Y=φ(x) определяется так:

Величину M[φ(x)] рассчитываем в соответствии с (9.1)-(9.3). Для определения математического ожидания квадрата φ(х) воспользуемся следующими соотношениями:

. (9.4)

Таким образом, для нахождения числовых характеристик функции Y=φ(x) достаточно знать закон распределения ее аргумента.

47Закон распределения функции дискретной случайной величины.

Для дискретной случайной величины Y=φ(х) определяем вероятности появления различных значений случайной величины:

Преобразуем полученную таблицу в ряд распределения случайной величины Y. Для этого расположим значения Y в порядке возрастания, а для определения вероятностей p{Y=y_i} будем руководствоваться следующими правилами:

· если различным возможным значениям аргумента Х соответствуют различные возможные значения Y, то P{Y=φ(x_i)}=p_i;

· если различным возможным значениям случайной величины Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений СВ Y.

Полученный таким образом ряд является рядом распределения случайной величины Y.