36Функция распределения системы случайных величин.

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 20

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Функцией распределения (или совместной функцией распределения) системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств X₁<x₁, …, X_n<x_n:

. (10.1)

Для случая двумерной случайной величины:

(10.2)

Геометрически функция распределения F(x,y) это вероятность попадания случайной точки (Х,У) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х,у), лежащей левее и ниже ее (рис. 10.1).

Свойства функции распределения.

1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:

.

Доказательство этого свойства вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность есть неотрицательное число, не превышающее 1.

2. Функция распределения F(x,y) есть неубывающая функция по каждому из аргументов т.е

х₁ <х₂ = > F(х₁,у) £ F(х₂, у)

у₁< у₂ = > F (х, у₁) £ F (х,у₂)

Доказательство этого свойства вытекает из того, что при увеличении какого-нибудь из аргументов (x,y) квадрант, заштрихованный на рис. 10.1, увеличивается; следовательно, вероятность попадания в него случайной точки (X,Y) уменьшаться не может.

3. Если хотя бы один из аргументов функции распределения обращается в -∞, то функция распределения равна 0:

(10.3)

Доказательство. По определению

Событие невозможное событие, т.к. невозможным является событие событие; тогда

4. Если оба аргумента функции распределения F(x,y) равны +¥, то функция распределения равны 1.

Доказательство следует из определения функции распределения системы случайных величин:

. (10.4)

5. Если один из аргументов обращается в +∞, то функция распределения F(x,y) становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

. (10.5)

Доказательство. По определению функции распределения:

Событие (Y<+∞) является достоверным событием. Тогда

Точно так же доказывается, что

6. Вероятность попадания в прямоугольную область

P(a£X£b;d£U£g)=F(b,g)-F(b,d)-F(a,g)+F(a,d). (10.6)

37Функция распределения системы дискретных случайных величин.

Если известна матрица распределения системы двух случайных величин (X,Y), то ее функция распределения находится суммированием всех вероятностей p_ij, для которых x_i<x, y_j<y :

(10.10)

Тут можно добавить про матрицу распределения (пункт 35)