18Функция распределения дискретной случайной величины.
Исходной информацией для построения функции распределения дискретной случайной величины X является ряд распределения этой СВ.
| xi | x1 | x2 | x3 | ... | xn | >xn |
| pi | p1 | p2 | p3 | ... | pn | 0 |
| F(xi) | 0 | p1 | p1+p2 | … | p1+..+pn-1 | 1 |
F(xi)=P{X<xi}=P{(X=x1)È(X=x2)È ... È(X=xi-1)}= p1+...+pi-1.
, то есть суммирование распространяется на все значения 
, которые меньше х.
Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятности этих значений.
(5.5)
19Смешанная случайная величина.
Случайная величина называется смешанной, если функция распределения F(x) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы (скачки).
На тех участках, где F(x) непрерывна, вероятность каждого отдельного значения случайной величины равна нулю. Вероятность тех значений, где функция распределения совершает скачки, отличны от нуля и равны величине скачка.
20Непрерывная случайная величина. Плотность распределения случайной величины и ее свойства.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю
P{X=α}=0 для любого α.
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятие плотности распределения или плотности вероятности.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке:
P{x£ X <x+Dx}=F(x+Dx) - F(x).
Плотность вероятности на этом участке определяется отношением
(5.6)
Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.
Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.
Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:
(5.7)
В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β) (рис. 5.4).
Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:
(5.8)
В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x (рис. 5.5).
Основные свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.
Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.
2. Условие нормировки: 
Это свойство следует из формулы (5.8), если положить в ней x=∞.
Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:
1. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
2. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.