Тема занятия: Элементы теории вероятности. Вероятность события.
Цель занятия: познакомиться с основными понятиями теории вероятностей - событием, сформировать умение определять вид произошедшего события. Получить формулу подсчета вероятности.
1.Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются закономерности случайных событий.
Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.
Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.
Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.
Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других.
Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны.
- равновозможных,
Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие.
Классическое определение вероятности.
Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу. P(A) = m/n
2.Закрепление.Рассмотрим решение задач.
1.На экзамене 40 вопросов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.
Решение: Вероятность события определятся формулой: Р= m/n, где m- число благоприятных событий (исходов), n– число всех возможных событий. Из 40 вопросов (число всевозможных исходов) Коля выучил (40-4=36) вопросов (число благоприятных исходов). Тогда вероятность того, что Коле попадется выученный вопрос – это Р=36/40=0,9
Ответ: 0,9
2.В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
Решение: 35- число всех возможных событий, а 7 зеленых - число благоприятных событий (исходов). Тогда вероятность того, что приедет зеленое такси равно Р= 7/35= 0,2
Ответ: 0,2
3.В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
Решение: В сумме выпадет 7 очков в следующих вариантах:
5+1+1 (3 комбинации), 1+2+4 (6 комбинаций), 1+3+3 (3 комбинации),
2+2+3 (3 комбинации). Всего 15 вариантов. Каждый из трех кубиков может выпасть шестью гранями. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков, равна Р=15/216= 0,069444…= 0,07.
Ответ: 0,07.
4.В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что «решка» не выпадет ни разу.
Решение: Т. к монету бросают 4 раза и она симметричная, то 2 возводим в 4 степень. 2^4=16, теперь переходим к некому подобию матрицы. У нас будет 4 столбика. Расписываем 1 столбик: 8 решек и 8 орлов 2 столбик: 4 решки и 4 орла 3 столбик: 2 решки и 2 орла 4 столбик: 1 решка и 1 орел Таким образом ты получишь одну нужную комбинацию (рррр) из 16 возможных, т. е вероятность равна 1/16=0,0625.
Ответ: 0,0625
5.Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 75 докладов — в первый день 27 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: Всего запланировано 75 докладов, и так как в первый день запланировано 27, то на оставшиеся два дня остается 75-27=48 докладов, при этом во второй и третий дни будет прочитано по 48:2=24 доклада. Значит вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на третий день Р= 24/75=0,32. Ответ: 0,32
6.Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России.
Решение: В первом туре Василий Лукин может сыграть с 26-1=25 шашистами, из которых 3-1=2 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России, равна Р= 2/25=0,08
Ответ: 0,08
7.В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе?
Решение: Количество карточек с номером «1» – 4 штуки. Всего карточек (команд) – 20.
Значит, вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе равна Р= 4/20 = 0,2.
Ответ: 0,2
8.На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?
Решение: m = 4 (количество цифр меньше 4 0 1 2 3 )
n = 10 (всего 10 цифр)
Р(А)=m/n=4/10=0,4. Ответ: 0,4
9.Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2?
Решение: От 41 до 56 ровно 16 чисел. Среди них четных 8 штук (42; 44; 46; 48; 50; 52; 54; 56). Значит, вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2 равна Р= 8/16=0,5.
Ответ: 0,5
10.Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?
Решение: Сумма очков равна 10 в следующих трех случаях: 4+6; 6+4; 5+5.
Ответ: 3.
3.Самостоятельная работа.
№ 1. В кармане у Миши 4 конфеты – «Грильяж», «Маска», «Белочка», «Красная шапочка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Маска»
№ 2. Игральную кость бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпало число очков не меньше, чем 3?
№ 3. Бабушка решила дать внуку Илье на дорогу какой-нибудь случайно выбранный фрукт. У неё было 3 зелёных яблока, 3 зеленых груши и 2 желтых банана. Найдите вероятность того, что Илья получит фрукт зеленого цвета?
№ 4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно два раза?
№ 15. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков?
№ 6. В соревнованиях по керлингу выступают 20 команд из 5 стран: Швеция, Норвегия, Финляндия, Канада, Дания. Причем каждая страна выставила по 4 команды. Порядок выступления команд определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что 17-ой по счету будет выступать одна из команд Канады?
№ 7. В коробке находятся 7 красных шаров, 13 белых шаров и 6 синих шаров. Определите вероятность того, что наудачу взятый из коробки шар окажется белым.
№ 8. В копилке находятся монеты достоинством 2 рубля – 14 штук, 5 рублей – 10 штук и 10 рублей – 6 штук. Какова вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей?
Домашнее задание
1. Придумайте по три примера событий: достоверных, невозможных, случайных.
2. Решить самостоятельную работу.