Умовні статистичні розподіли та їх числові характеристики

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 5
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

Тема для самостійного опрацювання 4

Двовимірний статистичний розподіл вибірки та його числові характеристики

Перелік варіант та відповідних їм частот
спільної їх появи утворюють двовимірний статистичний розподіл вибірки, що реалізована з генеральної сукупності, елементам цієї вибірки притаманні кількісні ознаки Х і Y.

У табличній формі цей розподіл має такий вигляд:

…
…
…
…
… … … … … … …
…
…

 

Тут — частота спільної появи варіант

.

Загальні числові характеристики ознаки Х:

загальна середня величина ознаки Х

(366)

загальна дисперсія ознаки Х

(367)

загальне середнє квадратичне відхилення ознаки Х

(368)

Загальні числові характеристики ознаки Y:

загальна середня величина ознаки Y

(369)

загальна дисперсія ознаки Y

(370)

загальне середнє квадратичне відхилення ознаки Y

(371)

Умовні статистичні розподіли та їх числові характеристики

Умовним статистичним розподілом ознаки Y при фіксованому значенні називають перелік варіант ознаки Y та відповідних їм частот, узятих при фіксованому значенні Х.

.

…
…

Тут

Числові характеристики для такого статистичного розподілу називають умовними. До них належать:

умовна середня ознаки Y

; (372)

умовна дисперсія ознаки Y

(373)

умовне середнє квадратичне відхилення ознаки Y

. (374)

вимірюють розсіювання варіант ознаки Y щодо умовної середньої величини

Умовним статистичним розподілом ознаки Х при називають перелік варіант та відповідних їм частот, узятих при фіксованому значенні ознаки .

.

…
…

Тут

Умовні числові характеристики для цього розподілу:

умовна середня величина ознаки Х

; (375)

умовна дисперсія ознаки Х

; (376)

умовне середнє квадратичне відхилення ознаки Х

. (377)

При відомих значеннях умовних середніх загальні середні ознаки Х та Y можна обчислити за формулами:

(378)

(379)

Кореляційний момент, вибірковий коефіцієнт кореляції

Під час дослідження двовимірного статистичного розподілу вибірки постає потреба з’ясувати наявність зв’язку між ознаками Х і Y, який у статистиці називають кореляційним. Для цього обчис-
люється емпіричний кореляційний момент за формулою

. (380)

Якщо , то кореляційного зв’язку між ознаками Х і Y немає. Якщо ж то цей зв’язок існує.

Отже, кореляційний момент дає лише відповідь на запитання: є зв’язок між ознаками Х і Y, чи його немає.

Для вимірювання тісноти кореляційного зв’язку обчислюється вибірковий коефіцієнт кореляції за формулою

. (381)

Як і в теорії ймовірностей,

Приклад. За заданим двовимірним статистичним розподілом вибірки ознак Х і Y

10 20 30 40
2 — 2 4 4 10
4 10 8 6 6 30
6 5 10 5 — 20
8 15 — 15 10 40
30 20 30 20

 

потрібно:

1) обчислити ,

2) побудувати умовні статистичні розподіли й обчислити умовні числові характеристики.

Розв’язання. 1) Щоб обчислити , визначимо . Оскільки то

Отже,

Отже, .

Для визначення обчислюють

Тоді

Отже, а це свідчить про те, що між ознаками Х і Y існу-
ватиме від’ємний кореляційний зв’язок.

Для вимірювання тісноти цього зв’язку обчислимо вибірковий коефіцієнт кореляції.

Отже, тобто тіснота кореляційного зв’язку між ознаками Х та Y є слабкою.

Умовний статистичний розподіл матиме такий вигляд:

 

2 4 6 8
4 6 5 15

 

Обчислюються умовні числові характеристики для цього розподілу:

Умовна середня величина

Умовна дисперсія та середнє квадратичне відхилення

;

.

Отже, .

Умовний статистичний розподіл матиме такий вигляд:

10 20 30 40
10 8 6 6

Обчислюються умовні числові характеристики.

Умовна середня величина

Отже,

Умовна дисперсія та середнє квадратичне відхилення

.

Отже,