Умовні статистичні розподіли та їх числові характеристики
Тема для самостійного опрацювання 4
Двовимірний статистичний розподіл вибірки та його числові характеристики
Перелік варіант 
та відповідних їм частот 
спільної їх появи утворюють двовимірний статистичний розподіл вибірки, що реалізована з генеральної сукупності, елементам цієї вибірки притаманні кількісні ознаки Х і Y.
У табличній формі цей розподіл має такий вигляд:
|
|
| |||||
| 
| 
| … | 
| 
| |
| 
| 
| 
| … | 
| 
|
| 
| 
| 
| … | 
| 
|
| 
| 
| 
| … | 
| 
|
| … | … | … | … | … | … | … |
| 
| 
| 
| … | 
| 
|
| 
| 
| 
| … | 
| |
Тут 
— частота спільної появи варіант
.
Загальні числові характеристики ознаки Х:
загальна середня величина ознаки Х
(366)
загальна дисперсія ознаки Х
(367)
загальне середнє квадратичне відхилення ознаки Х
(368)
Загальні числові характеристики ознаки Y:
загальна середня величина ознаки Y
(369)
загальна дисперсія ознаки Y
(370)
загальне середнє квадратичне відхилення ознаки Y
(371)
Умовні статистичні розподіли та їх числові характеристики
Умовним статистичним розподілом ознаки Y при фіксованому значенні 
називають перелік варіант ознаки Y та відповідних їм частот, узятих при фіксованому значенні Х.
.
|
|
|
| … |
|
| 
| 
| 
| … | 
|
Тут 
Числові характеристики для такого статистичного розподілу називають умовними. До них належать:
умовна середня ознаки Y
; (372)
умовна дисперсія ознаки Y
(373)
умовне середнє квадратичне відхилення ознаки Y
. (374)
вимірюють розсіювання варіант ознаки Y щодо умовної середньої величини 
Умовним статистичним розподілом ознаки Х при 
називають перелік варіант 
та відповідних їм частот, узятих при фіксованому значенні ознаки 
.
.
| 
| 
| 
| … | 
|
| 
| 
| 
| … | 
|
Тут 
Умовні числові характеристики для цього розподілу:
умовна середня величина ознаки Х
; (375)
умовна дисперсія ознаки Х
; (376)
умовне середнє квадратичне відхилення ознаки Х
. (377)
При відомих значеннях умовних середніх 
загальні середні ознаки Х та Y можна обчислити за формулами:
(378)
(379)
Кореляційний момент, вибірковий коефіцієнт кореляції
Під час дослідження двовимірного статистичного розподілу вибірки постає потреба з’ясувати наявність зв’язку між ознаками Х і Y, який у статистиці називають кореляційним. Для цього обчис-
люється емпіричний кореляційний момент 
за формулою
. (380)
Якщо 
, то кореляційного зв’язку між ознаками Х і Y немає. Якщо ж 
то цей зв’язок існує.
Отже, кореляційний момент дає лише відповідь на запитання: є зв’язок між ознаками Х і Y, чи його немає.
Для вимірювання тісноти кореляційного зв’язку обчислюється вибірковий коефіцієнт кореляції 
за формулою
. (381)
Як і в теорії ймовірностей, 
Приклад. За заданим двовимірним статистичним розподілом вибірки ознак Х і Y
|
|
| ||||
| 10 | 20 | 30 | 40 | 
| |
| 2 | — | 2 | 4 | 4 | 10 |
| 4 | 10 | 8 | 6 | 6 | 30 |
| 6 | 5 | 10 | 5 | — | 20 |
| 8 | 15 | — | 15 | 10 | 40 |
| 30 | 20 | 30 | 20 | |
потрібно:
1) обчислити 
, 
2) побудувати умовні статистичні розподіли 
й обчислити умовні числові характеристики.
Розв’язання. 1) Щоб обчислити , 
визначимо 
. Оскільки 
то
Отже, 
Отже, 
.
Для визначення 
обчислюють
Тоді
Отже, 
а це свідчить про те, що між ознаками Х і Y існу-
ватиме від’ємний кореляційний зв’язок.
Для вимірювання тісноти цього зв’язку обчислимо вибірковий коефіцієнт кореляції.
Отже, 
тобто тіснота кореляційного зв’язку між ознаками Х та Y є слабкою.
Умовний статистичний розподіл 
матиме такий вигляд:
| 2 | 4 | 6 | 8 |
| 4 | 6 | 5 | 15 |
Обчислюються умовні числові характеристики для цього розподілу:
Умовна середня величина
Умовна дисперсія та середнє квадратичне відхилення
;
.
Отже, 
.
Умовний статистичний розподіл 
матиме такий вигляд:
| 10 | 20 | 30 | 40 |
| 10 | 8 | 6 | 6 |
Обчислюються умовні числові характеристики.
Умовна середня величина
Отже, 
Умовна дисперсія та середнє квадратичне відхилення
.
Отже, 