2. Построить функции полезности по каждому из критериев.
3. Проверить некоторые условия, определяющие вид общей функции полезности.
4. Построить зависимость между оценками альтернатив по критериям и общим качеством альтернативы (многокритериальная функция полезности).
5. Оценить все имеющиеся альтернативы и выбрать наилучшую.
Аксиоматическое обоснование
Точно так же, как и классическая теория полезности MAUT имеет аксиоматическое обоснование. Это означает, что выдвигаются некоторые условия (аксиомы), которым должна удовлетворять функция полезности ЛПР. В случае, если условия удовлетворяются, дается математическое доказательство существования функции полезности в том или ином виде. В MAUT эти условия можно разделить на две группы. Первая группа — аксиомы общего характера, идентичные тем, которые использовались в теории полезности.
1. Аксиома, утверждающая, что может быть установлено отношение между полезностями любых альтернатив: либо одна из них превосходит другую, либо они равны.
2. А:ксиома транзитивности: из превосходства полезности альтернативы А над полезностью альтернативы В и превосходства полезности В над полезностью С следует превосходство полезности альтернативы А над полезностью альтернативы С.
3. Для соотношений между полезностями альтернатив А, В, С, имеющими вид
U(A)>U(B)>U(C), можно найти такие числа α, β, которые меньше 1 и больше 0, так что:
α·U(А)+(1 - α) ·U(C)=U(B),
U(A) · (1- β)+ β ·U(B)>U(B).
Аксиома 3 основана на предположении, что функция полезности непрерывна и что можно использовать любые малые части полезности альтернатив.
Вторая группа условий специфична для MAUT. Они называются аксиомами (условиями) независимости, позволяющими утверждать, что некоторые взаимоотношения между оценками альтернатив по критериям не зависят от значений по другим критериям.
Следствия из аксиом.
Если аксиомы первой группы и некоторые из условий независимости выполнены, то из этого следует строгий вывод о существовании многокритериальной функции полезности в определенном виде.
В качестве примера приведем широко известную теорему Р. Кини [7]. Если условия независимости по полезности и независимости по предпочтению выполнены, то функция полезности является аддитивной
U(x) = ∑wiUi(x) при ∑wi =1
либо мультипликативной
1 + kU(x) = Π[1 + kwiUi(x)] при ∑wi =l,
где U1, Ui— функции полезности, изменяющиеся от 0 до 1; wi — коэффициенты важности (веса) критериев, причем 0< wi <1; коэффициент k>(-1). Таким образом, многокритериальную функцию полезности можно определить, если известны значения коэффициентов wi, k , а также однокритериальные функции полезности Ui(x).
Полученный теоретический результат является основой метода, неоднократно использованного для решения практических задач. Обсудим приведенные выше этапы применения этого метода, используя в качестве примера задачу выбора площадки для строительства аэропорта.