Линейная функция полезности
В соответствии с приведенными выше определениями вещественная функция и, заданная на множестве Р, является функцией полезности для отношения 
на Р, если и(р)>и(q) для всех р q, и u— совершенная функция полезности для отношения на Р, если для всех р и q из Р неравенство и(р)>и(q) справедливо тогда и только тогда, когда р q. В случае когда множество X содержит более одного элемента, множество Р будет неисчислимо, поэтому замечания из разд. 2.3 для неисчислимых множеств справедливы для функции и на множество Р.
В рассматриваемом случае наличие определенных структурных свойств у множества Р приводит к тому, что функция и обладает свойством линейности, которое определяется следующим образом:
(2.1)
для всех a, лежащих между 0 и 1, и для всех р и q, принадлежащих Р. Функция полезности P, определенная для отношения на Р, называется линейной функцией полезности, если для нее выполняется равенство (2.1).
- Аксиомы линейной функции полезности
В данном разделе будут рассмотрены аксиомы (или условия) для отношения на множестве Р, выполнение которых означает, что существует линейная функция полезности для отношения на Р. В работе [21] предложены аксиомы (Al, А2, A3), которых достаточно для существования линейной функции полезности для отношения на Р. Другой набор аксиом {Bl, В2, ВЗ} введен в работе [33]; выполнение этих аксиом является необходимым л достаточным условием существования совершенной линейной функции полезности для отношения на множестве Р. В каждом случае X представляет собой любое непустое множество, причем не обязательно конечное или исчислимое. Аксиомы не означают, что полезность ограничена, хотя ограниченность полезности обычно возникает в результате применения аналогичных аксиом к непростым распределениям вероятностей.
Первоначальная аксиоматика для совершенной функции полезности была предложена Нейманом и Моргенштерном в их известной книге [58], и поэтому совершенную линейную функцию и (или дополнительную к ней v на X) часто называют функцией полезности Неймана — Морген-штерна. Используется также выражение «полезность по Бернулли», поскольку Бернулли внес вклад в разработку этого вопроса [6].
При формулировке каждой аксиомы предполагается, что все р, q, r и s принадлежат множеству Р; в аксиомах А2 и В2 считается, что а лежит строго между 0 и 1.
А1. Отношение на Р нерефлексивно.
А2. Если 0< а < 1 и р q и r s, то ар + (1 — а) r аq+ (1 — а) s.
A3. Если р q и r s, то ар -+ (1 — a) s аq + (1 — a) r для некоторого а, заключенного строго между 0 и 1.
B1. Отношение на Р является слабым упорядочением.
B2. Если 0 < а < 1 и р q, то ар +(1 — а)r аq + (1 — а) r
B3. Если р q и q r, то ар + (1 — а) r q и q (b р + (1 — b) r ) для некоторых а и b, лежащих строго между 0 и 1.
Аксиомы А1 и В1 уже обсуждались выше (они означают, что отношение ациклично); А2 и В2 называют по-разному: аксиомами независимости, аддитивности или условиями линейности. Линейные свойства функции и [см. уравнение (3)] получаются непосредственно из этих аксиом. Рациональное обоснование аксиом А2 и В2 обычно дается следующим образом: сначала выбирают р и r с соответствующими вероятностями а и (1 — а), а затем составляют выражение ар + (1 — а) r на основе ранее сделанного выбора.
- Основы рационального поведения лица принимающего решения.
Одно из основных допущений экономической теории состоит в том, что человек делает рациональный выбор. Рациональный выбор означает предположение, что решение человека является результатом упорядоченного процесса мышления. Слово «упорядоченный» определяется экономистами в строгой математической форме. Вводится ряд предположений о поведении человека, которые называются аксиомами рационального поведения.
При условии, что эти аксиомы справедливы, доказывается теорема о существовании некой функции, устанавливающей человеческий выбор, — функции полезности. Полезностью называют величину, которую в процессе выбора максимизирует личность с рациональным экономическим мышлением. Можно сказать, что полезность — это воображаемая мера психологической и потребительской ценности различных благ.
Человек, который следует аксиомам рационального выбора, называется в экономике рациональным человеком.
- Нерациональное поведение (Эвристики, обьяснение отклонения от рационального поведения)
Приведем один из наиболее известных примеров нерационального поведения людей - «дилемму генерала» [6]. Генерал потерпел поражение в войне и хочет вывести свои войска (600 чел.) с территории противника. У него есть две возможные дороги, и разведка дала оценки возможных потерь при выборе каждой из них. Данные о дорогах и возможных потерях представлены на рис.
Многочисленные эксперименты продемонстрировали отклонение поведения людей от рационального, определили эвристики, которые используются при принятии решений. Дадим перечень наиболее известных эвристик [7].
Суждение по представительности. Люди часто судят о вероятности того, что объект А принадлежит к классу В только по похожести А на типовой объект класса В. Они почти не учитывают априорные вероятности, влияющие на эту принадлежность.
Суждение по встречаемости. Люди часто определяют вероятности событий по тому, как часто они сами сталкивались с этими событиями и насколько важными для них были эти встречи.
Суждение по точке отсчета. Если при определении вероятностей используется начальная информация как точка отсчета, то она существенно влияет на результат.
Сверхдоверие. В экспериментах было показано, что люди чрезмерно доверяют своим суждениям, особенно в случаях, когда они выносят суждение о прошлых событиях.
Стремление к исключению риска. Многочисленные работы показывают, что как в экспериментах, так и в реальных ситуациях люди стремятся исключить ситуации, связанные с риском. Они соглашаются на средние (и хуже средних альтернативы, только чтобы не возникли ситуации, где хотя бы при очень малых вероятностях возможны большие потери.
Признание нерациональности человеческого поведения привело к поиску его причин. Среди этих причин называют [9]:
1) недостаток информации у ЛПР в процессе выбора;
2) недостаточный опыт ЛПР: он находится в процессе обучения и поэтому меняет свои предпочтения;
3) ЛПР стремится найти решение, оптимальное с точки
зрения совокупности критериев (целей), строго упорядоченных
по важности, но не может его найти;
4) различие между объективно требуемым временем для реализации планов и субъективным горизонтом планирования ЛПР.