Суждения и пропозиции
Суждение - это нечто познаваемое, то есть объект познания. Это очевидно, если кто-то действительно знает это. [6] Таким образом, "идет дождь" - это суждение, которое очевидно для того, кто знает, что на самом деле идет дождь; в этом случае можно легко найти подтверждение суждения, выглянув за окно или выйдя из дома. Однако в математической логике доказательства часто не поддаются непосредственному наблюдению, а скорее выводятся из более простых очевидных суждений. Процесс дедукции - это то, что составляет доказательство; другими словами, суждение очевидно, если у кого-то есть доказательства для него.
Наиболее важные суждения в логике имеют вид " A истинно ". Буква A обозначает любое выражение, представляющее пропозицию; таким образом, суждения об истинности требуют более примитивного суждения: " A - это пропозиция ". Изучалось множество других суждений; например, " A ложно " (см. классическую логику ), " A истинно в момент времени t " (см. временную логику ), " A обязательно истинно " или " A , возможно, истинно " (см. модальную логику ), "программа M имеет тип τ " (см. языки программирования и теория типов ), " A достижимо из доступных ресурсов " (см. линейную логику ) и многие другие. Для начала мы займемся двумя простейшими суждениями " A является пропозицией " и " A истинно ", сокращенно обозначаемыми как " пропозиция" и " истина" соответственно.
Суждение " A proposal " определяет структуру достоверных доказательств A , которые, в свою очередь, определяют структуру предложений. По этой причине правила вывода для этого суждения иногда известны как правила формирования. Для иллюстрации, если у нас есть две пропозиции A и B (то есть суждения " A prop " и " B prop " очевидны), то мы формируем составное предложение A и B , записанное символически как " A ∧ B A \ wedge B ". Мы можем записать это в виде правила вывода: