Экстремум также может существовать в точках, в которых первые частные производные функции не существуют. Например, очевидно, что функция имеет минимум в точке .

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 21

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Лекция 9.

2.14. Экстремумы функций нескольких переменных.

Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки .

Значение функции в этой точке называется экстремальным.

Экстремальные точки всегда принадлежат области определения функции.

Теорема. (Необходимый признак существования экстремума в точке.) Если в точке дифференцируемая функция , имеет экстремум, то частные производные в этой точке равны нулю.

При этом обратное утверждение неверно, то есть, если частные производные в некоторой точке равны нулю, то экстремума у функции в этой точке может и не быть.

Экстремум также может существовать в точках, в которых первые частные производные функции не существуют. Например, очевидно, что функция имеет минимум в точке .

Однако, в этой точке ее производные и не существуют.

Точки функции, в которых ее первые частные производные обращаются в ноль или не существуют, называются критическими. Как следует из рассмотренной теоремы, экстремум существует не во всякой критической точке. Наиболее простым достаточным условием существования экстремума в критической точке является следующий.

Назовем детерминантом выражение вида: , где

; ; - значения частных производных второго порядка в исследуемой критической точке .

Замечание. Значения несмешанных частных производных в критических точках и всегда имеют одинаковые знаки.

Тогда:

Если , то функция в этой критической точке имеет экстремум, при этом:

экстремум является максимумом, если ,

экстремум является минимумом, если .

Если , то функция в этой критической точке не имеет экстремума.

Если , то данный признак не дает ответа о наличии или отсутствии экстремума в точке.

В последнем случае, а так же в случае, когда число переменных у функции более двух, вопрос о существовании экстремума решается на основе исследования знака дифференциала второго порядка.

Если в окрестности точки , то в точке максимум.

Если в окрестности точки , то в точке минимум.

Если в окрестности точки меняет знак, то в точке экстремума нет.

Пример 1. Найти экстремумы функции .

1. Найдем первые частные производные функции: .

2. Найдем критические точки функции, для чего приравняем найденные производные к нулю и решим получившуюся систему уравнений:

Таким образом, функция имеет одну критическую точку: .

3. Найдем частные производные второго порядка и их значения в критической точке.

4. Найдем значения детерминанта в критической точке и определим наличие и характер экстремума.

в точке экстремум еcть. Так как , то экстремум является максимумом.

5. Найдем значения локальных экстремумов, подставив координаты экстремальных точек в заданную функцию: .

Пример 2.Найти экстремумы функции .

1. Найдем первые частные производные функции:

Значит, функция имеет четыре критические точки: ; ; ; .

3. Найдем частные производные второго порядка и их значения в критических точках.

4. Найдем значения детерминантов в критических точках и определим наличие и характер экстремумов.

в точке экстремума нет.

в точке экстремум еcть. Так как , то экстремум является локальным минимумом.

в точке экстремум еcть. Так как , то экстремум является локальным максимумом.

5. Найдем значения экстремумов, подставив координаты экстремальных точек в заданную функцию.

2.15. Условный экстремум.

Понятие условного экстремума поясним на примере. Рассмотрим функцию . Графиком этой функции является верхняя полусфера радиусом .

Очевидно, что эта функция имеет максимум равный единице в точке , которой в плоскости соответствует начало координат . Проведем прямую , уравнением которой будет . Геометрически ясно, что для точек этой прямой наибольшее значение функции достигается в точке , лежащей посередине отрезка и имеющей координаты . Значение функции в этой точке и называется условным экстремум функции при условии, что . Уравнение, выражающее условие, при котором ищется экстремум, называется уравнением связи.

В общем случае задача выглядит так. Имеется некоторая функция , описывающая некоторую поверхность, и плоская линия , расположенная в плоскости и описываемая уравнением связи . Задача состоит в том, чтобы найти на линии , точку , в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии , лежащих вблизи точки . Точка называется точкой условного экстремума, а значение функции в этой точке условным экстремумом.

Существует три метода нахождения условного экстремума.

1. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, например, , то подставляя выражение в функцию , получим функцию одной переменной : . Далее, исследуя эту функцию на экстремум, как функцию одной переменной, находим , а находим из уравнения связи . Так для выше рассмотренного примера получим:

Таким образом, точка экстремума . Тогда значение экстремума равно:

при условии .

2. Если уравнение связи задано параметрическом виде: , то, подставив эти уравнения в уравнение функции, получим функцию одной переменной : . Далее, исследуя эту функцию на экстремум, как функцию одной переменной , находим значения параметра, при которых функция имеет условный экстремум. Значения и определяются из параметрических уравнений связи.

3. Если уравнение связи имеет более сложный вид, то для нахождения условного экстремума составляется функция Лагранжа, имеющая вид: , где некоторый неопределенный коэффициент. Нахождение условного экстремума сводится в этом случае к решению системы из трех уравнений с тремя неизвестными , и :

Вопрос о характере экстремума для полученных из решения системы значений , и решается на основании изучения знака дифференциала второго порядка функции Лагранжа (см. раздел 1.11):

При этом и связаны уравнением: , при чем ; ; .

Пример. Найти экстремумы функции . При условии, что .

1. Составим функцию Лагранжа и найдем ее первые частные производные.

. .

2. Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными и решим ее:

Тогда критические точки функции Лагранжа: при и при .

3. Найдем частные производные второго порядка функции Лагранжа и их значения в критических точках.

. .

4. Определим знак дифференциала второго порядка функции Лагранжа в найденных точках.

Тогда при значение и в точке функция имеет условный минимум, а при значение и в точке функция имеет условный максимум.

5. Найдем значения условных экстремумов:

2.16. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных.

Теорема. Если функция , непрерывна и дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения.

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции , в ограниченной и замкнутой области следует:

1. Найти критические точки функции и ее значения в этих точках.

2. Взяв в качестве уравнений связи, уравнения границ области найти условные экстремумы функции.

3. Найти значения функции в крайних точках границ.

4. Выбрать из всех найденных значений набольшее и наименьшее значения.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге .

1. Найдем критические точки функции и ее значения в этих точках.

у функции одна критическая точка: .

Значение функции в этой точке .

2. Найдем условные экстремумы, взяв в качестве уравнения связи уравнение .

Имеем две критические точки , в которых значения функции равны:

3. Так как область определения представляет собой круг радиуса , то границы находятся в пределах:

и , и имеется четыре граничные точки: , , , , из которых две последние совпадают с точками и , рассмотренными в пункте 2.

Найдем значения функции в точках и : .

4. Таким образом, наибольшее и наименьшее значения должны выбираться из следующих значений функции: ; ; . Следовательно:

Наибольшее значение функции и достигается в точках и .

Наименьшее значение функции и достигается в точках и .

2.17. Задание №9 на практические занятия и самостоятельную работу.

Решить самостоятельно на занятии: Б.П.Демидович «Задачи и упражнения по математическому анализу» №2008, 2010, 2011, 2012; 2021, 2022; 2030; 2031. В задачнике Демидовича Б.П. есть краткая теория и разобранные примеры. Ответы в конце задачника.

Решить дома: Г.Н.Берман «Сборник задач по курсу математического анализа» №3271, 3272, 3273; 3292; 3280, 3281. Ответы в конце задачника. Подготовиться к контрольной работе.

2.18. Пробный вариант контрольной работы №4 «Функции нескольких переменных».

1. Найти область определения функции и изобразить ее на плоскости : .

2. Найти полный дифференциал функции .

3. где . Найти и .

4. Найти и .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности: в точке .