Формулы решения неполных квадратных
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Формулы решения простейших
тригонометрических уравнений
Таблица 1.
| sin x | cos x | tg x | ctg x | |
| 0 | x = 
| x = 
| x =
| x =
|
| 1 | x = 
| x = 2
| x = 
| x =
|
| –1 | x = –
| x = 
| x = –
| x = –
|
k  z
| k z
| k z
| k z
|
Примеры
| 1. sin2x · sinx = 0 | 2. cos23x – 5 cos3x = 0 cos3x (cos3x – 5) = 0 | ||
sin 2x = 0
2x =
x = 
| sin x = 0
x =
| cos3x = 0
3x =
x = 
| cos3x – 5= 0 cos3x = 5 нет решений |
| Ответ: | Ответ: | ||
Общие формулы решения
тригонометрических уравнений
Таблица 2.
sinx = 
| cosx =
| tgx = 
| ctgx =
|
|
x = (-1)кarcsina+Пк
k z
|
x = 
k z
|
x =  ,
k z
|
x =  ,
k z
|
Примеры
| 1. 2sin3x = –1 | 2. 
|
sin 3x = 
 , k z
| 
x =  , k z
|
Формулы решения неполных квадратных
тригонометрических уравнений
Таблица 3.
sin2x = 
| cos2x = 
| tg2x =
| ctg2x =
|
x = 
k z
|
x = пк±arccos 
k z
|
x =  ,
k z
|
x =  ,
k z
|
Примеры
1 . sin2x = 
| 2. tg2x =3 |
x = 
x = 
x =  , k z
| x = 
x =  , k z
|
Однородные тригонометрические уравнения
| Однородное уравнение первой степени Acosx + Bsinx = 0 | Однородное уравнение второй степени Asin2x + Bsinx cosx + Ccos2x= 0 |
Решаем путём деления обеих частей уравнения на sinx или cosx.
(x  или x ), k z
| Решаем путём деления обеих частей уравнения на sin2x или cos2 x.
(x или x  ), k z
|
Примеры
| 1. 5sinx + 6cosx = 0 | 2. 2cos2x + 5sinxcosx + 3sin2x = 0 | |
Делим обе части на cosx 0
5tgx + 6 = 0
5tgx = –6
tgx = – 
x = 
x =  , k z
| Делим обе части на cos2x 0
3tg2 x + 5tg x + 2 = 0
Пусть tgx = t, тогда 3t2 + 5t + 2 = 0
D = 25 – 24 = 1
 ;
tgx =  ; tgx = –1
x =  x = + arctg(-1)
k z x =  k z
|
Неоднородные тригонометрические уравнения
A sinx + Bcosx = C
Решаем путём деления обеих частей уравнения на 
; сводим левую часть уравнения к теоремам сложения.
Пример
sinx + cosx = 1
A = 1, B = 1 
= 
Делим обе части на
, k z
Знаки тригонометрических функций
| sinα | cosα | tgα, ctgα | ||
|
|
|
Пример:
Определить знак выражения 
.
Чётность, нечётность тригонометрических функций
| Чётные | Нечётные | Общего вида | ||
| 
| 
| ||
| cos(–x) = cosx | sin(–x) = sinx tg(–x) = –tgx ctg(–x) = –ctgx arcsin(–x) = –arcsinx arctg(–x) = –arctgx |
arccos(–x) =  –arccosx
arcctg(–x) = –arcctgx
|
Примеры :
1. sin(–30°) = –sin30° = – 
2. cos(–45°) = cos45° = 
3. tg(–45°) = –tg45° = –1
4. arcsin 
= –arcsin 
= – 
5. arcos = – arccos = – 
.
Периодичность тригонометрических функций
 |  |
sin(  ) = sin
cos( ) = cos
|
tg(  ) = tg
ctg( ) = ctg
|
Примеры :
1. sin 390° = sin30° =
2. tg 240° = tg60° = 
3. sin 1110° = sin 30° =
Соотношения между тригонометрическими
функциями одного аргумента
  sin2α + cos2α = 1
|
| sin2α = 1 – cos2α | 1 + ctg2α = 
| cos2α = 1 – sin2α | 1 + tg2α = 
| |||
| 
| 
| 
| |||
sinα = 
| sinα = 
| cosα = 
| cosα = 
|
| 
| |
| 
| |
| tgα ctg α = 1 | ||
| 
| |
| 
|
Примеры :
1. Упростить: 
2. 
3. sinα = 0,6 α II четверти.
Найти cosα, tgα, ctg α.
Решение:
1. 
2. tgα = 
3. ctgα = 
.
| Теоремы сложения | Формулы приведения | |
sin(α + β) = sinα cosβ + cosαsinβ
sin(α – β) = sinα cosβ – cosαsinβ
cos(α + β) = cosα cos β – sinαsinβ
cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ
tg(α + β) = 
tg(α – β) = 
сtg(α + β) = 
сtg(α – β) = 
| 1. а) Для углов  название исходной функции сохраняется.
б) Для углов  ± α;  ± α название исходной функции меняется:
синус на косинус
косинус на синус
тангенс на котангенс
котангенс на тангенс.
2. Окончательный знак в выражении ставится тот, который имеет исходная функция (считают что α – угол первой четверти.)
|
Примеры :
Упростить:
| 1. sinαcos2α + cosαsin2α = sin(α+2α) = = sin3α 2. cos5αcosα + sin5αsinα = cos(5α – α) = cos4α | 1. sin135°=sin(90°+45°) = cos45°=
=
2. tg120°= tg(90°+ 30°) = -ctg 30° =
= -
|
| Формулы двойного аргумента | Выражение sinα, cosα и tgα через тангенс половинного аргумента | Формулы понижения степени |
sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos2α – sin2α
tg2α = 
ctg2α = 
| sinα = 
cosα = 
tgα = 
| 
tg2 = 
|
Примеры:
| 1. 4sinαcosα = 2sin2α 2. 16sin4α cos4α · cos8α = = 8sin8αcos8α = 4sin16α 3. cos28α – sin28α = = cos16α |
Вычислить:
1.  = sin45°=
=
2.  = cos30°= 
|  =
=  =
=  =
= 
|
Преобразование произведений тригонометрических
функций в сумму и обратно
sinαcosβ = 
sinαsinβ = 
cosαcosβ = 
tgαtgβ = 
сtgαctgβ = 
|
sinα + sinβ = 2sin 
sinα – sinβ = 2sin 
cosα + cosβ = 2cos
cosα – cosβ = –2sin 
tgα + tgβ = 
tgα – tgβ = 
сtgα + ctgβ = 
сtgα – ctgβ = 
|
Упростить:
sin5αcos3α = (sin8α + sin2α) =
= 
| sin3x + sin5x = 0
2sin4xcos(–x) = 0
sin4xcosx = 0
sin4x =0 cosx = 0
4x = k x = 
x =  n z
k z
|
Значения тригонометрических функций
для некоторых углов
|
| 0°(0 рад) | 30° 
| 45° 
| 60° 
| 90° 
|
180° 
| 270° 
|
360° 
|
| sin
| 0 |
|
|
| 1 | 0 | –1 | 0 |
| cos
| 1 |
|
|
| 0 | –1 | 0 | 1 |
| tg
| 0 | 
| 1 |
| – | 0 | – | 0 |
| ctg
| – | 
| 1 |
| 0 | – | 0 | – |
| sec
| 1 | 
| 
| 2 | – | –1 | – | 1 |
| cosec
| – | 2 |
|
| 1 | – | –1 | – |