Несинусоидальный ток в линейных электрических цепях

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 2

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Если к линейной цепи приложено несинусоидальное напряжение, которое раскладывается на ряд гармоник, то ток в этой цепи раскладывается на такое же количество тех же гармоник.

Если, например, к неразветвленной цепи, состоящей из R, L и С (рис. 11), приложено несинусоидальное напряжение

то сопротивление этой линейной цепи для различных гармоник имеет различные значения.

Рисунок 1 - Неразветвленная цепь, состоящая из R, L и С

Активное сопротивление R для всех гармоник одинаковое, если пренебречь поверхностным эффектом.

Индуктивное сопротивление X_L = L с увеличением номера гармоники увеличивается, так как увеличивается частота , и для любой гармоники может быть определено выражением

где k — номер гармоники;

X_Ll — индуктивное сопротивление первой гармоники.

Емкостное сопротивление с увеличением номера гармоник уменьшается и для любой гармоники определяется выражением

где к — номер гармоники;

Х_C1 — емкостное сопротивление первой гармоники.

Полное сопротивление неразветвленной линейной цепи для любой гармоники

Угол сдвига фаз между током и напряжением для любой гармоники

Очевидно, угол сдвига фаз φ может быть положительным или отрицательным в зависимости от характера цепи для определенной гармоники (X_L>Х_С или X_L<X_C).

Амплитуды токов для каждой гармоники равны

Мгновенное значение несинусоидального тока в линейной цепи с заданным несинусоидальным напряжением и определяется выражением

Если в неразветвленной цепи включен конденсатор, а в приложенном к этой цепи несинусоидальном напряжении имеется постоянная составляющая, то ток постоянной составляющей равен нулю, так как для постоянной составляющей конденсатор представляет разрыв цепи.

Если задан несинусоидальный ток в линейной цепи и k-я гармоника тока записана

то напряжение в цепи, соответствующее этой гармонике, равно

Действующее значение несинусоидальной величины

Действующим называют значение несинусоидального тока, эквивалентное постоянному току по тепловому действию.

При этом нужно учесть, что несинусоидальный ток складывается из постоянной составляющей и ряда гармоник:

Каждая составляющая несинусоидального тока выделяет тепло в некотором элементе цепи с сопротивлением R . Для определения действующих значений тока гармоник и постоянной составляющей несинусоидаль­ного тока, можно сделать вывод, что

где — постоянная составляющая несинусоидального тока; I₁, I₂, I_k — действующее значение токов гармоник, т. е.

Таким образом, действующее значение несинусоидального тока является средней квадратичной величиной постоянной составляющей и действующих значений токов гармоник.

Аналогично действующее значение несинусоидального напря­жения определяется выражением

Действующее значение несинусоидального напряжения является средней квадратичной величиной постоянной составляющей и дей­ствующих значений напряжений гармоник

Под активной мощностью Р несинусоидального тока пони­мают среднее значение мгновенной мощности за период.

где Р₀ — мощность постоянной составляющей несинусоидального тока;

Р₁ Р₂, , Р_k — активные мощности гармоник несинусоидального тока.

Таким образом, потребляемая, т. е. активная, мощность в цепи несинусоидального тока определяется суммой постоянной мощности и активных мощностей гармоник.

Реактивная мощность в цепи несинусоидального тока, по аналогии, определяется выражением

Реактивная мощность в цепи несинусоидального тока определяется суммой реактивных мощностей гармоник.

Постоянная составляющая реактивной мощности отсутствует, так как для постоянного тока колебание мощности (энергии) немыслимо.

Полная, или кажущаяся, мощность в цепях несинусоидального тока равна

Следует иметь в виду, что несинусоидальный ток или напряжение не могут быть выражены при помощи векторов. Кривые несинусоидального тока и напряжения в общем случае даже не подобны. Так что невозможно применить понятие об угле сдвига фаз, принятое для синусоидальных токов.

Поэтому при изучении некоторых свойств цепей несинусоидального тока несинусоидальные токи и напряжения заменяют эквивалентными синусоидальными. Замена производится таким образом, что действующее значение синусоидального тока принимается равным действующему значению заменяемого несинусоидального тока, а действующее значение синусоидального напряжения принимается равным действующему значению несинусоидального напряжения.

Тогда угол сдвига фаз φ между эквивалентными синусоидами напряжения и тока выбирается таким, чтобы активная мощность эквивалентного синусоидального тока была равна активной мощности несинусоидального тока, т.е.

Откуда

При этом .Однако для цепи несинусоидального тока в общем случае

Пример 1

Определить действующие значения тока, напряжения, активную мощность цепи и коэффициент мощности. Написать уравнение мгновенного значения тока цепи, если R = 50 Ом, Х_L =10 Ом, Х_С = 90 Ом соединены последовательно (рис. 12), а приложенное напряжение задано уравнением

u = 268 sin ω t+70,5 sin3 ω t + 42 sin 5ω t, В

Рисунок 2 – Расчетная схема

Решение

1. Определяем полное сопротивление цепи для первой гармоники.

2. Определяем максимальное значение тока первой гармоники.

I _m1 = U_m1 / Z₁=268 / 94=2,84 А

3. Действующее значение тока первой гармоники.

4. Сдвиг фаз между током и напряжением первой гармоники.

tg φ₁ = (X_L1 - X_С1)/R = (10 - 90)/50 = - 1.6; φ₁ = - 58⁰

5. Определяем полное сопротивление цепи для третьей гармоники.

где X_L3=3 ∙X_L1= 3∙10 = 30 Ом; X_С3 = X_С1/ 3 = 90/3 = 30 Ом

6. Определяем максимальное значение тока третьей гармоники.

I _m3 = U_m3 / Z₃ = 70, 5/ 50 = 1,41 A .

7. Действующее значение тока третьей гармоники.

8. Сдвиг фаз между током и напряжением третьей гармоники.

tg φ₃ = (X_L3 - X_С3)/R=(30 – 30) / 50 = 0; φ₃ = 0⁰

9. Определяем полное сопротивление цепи для пятой гармоники.

где X_L5=5 ∙X_L1= 5∙10 = 50 Ом; X_С5 = X_С1/ 5 = 90/5 = 18 Ом

10.Определяем максимальное значение тока пятой гармоники.

I _m5 = U_m5 / Z₅ = 42 / 59 = 0,73 A.

11.Действующее значение тока пятой гармоники.

12.Сдвиг фаз между током и напряжением пятой гармоники.

tg φ₅ = (X_L5 – X_С5)/R=(50 – 18) / 50 = 0,64; φ₅ = 33⁰

13.Действующее значение несинусоидального тока цепи.

14. Действующее значение несинусоидального напряжения цепи.

15. Активная мощность цепи.

16. Реактивная мощность цепи

17. Полная мощность цепи

S = U∙I = 200 ∙ 2.3 = 460 В∙А.

18. Коэффициент мощности цепи.

1. Уравнение мгновенного значения тока цепи.

I = I_{m 1} ∙ sin ( ω t – φ ₁ ) + I_{m 3} ∙ sin (3 ω t – φ ₃ ) + I_{m 5} ∙ sin (5 ω t – φ ₅ ) =

= 2.84∙ sin ( ω t + 58⁰) + 1.41∙ sin 3 ω t + 0.73∙ sin (5 ω t –33⁰) А.

Методические указания к решению задания 2

Задача 5 относится к теме «Нелинейные электрические цепи переменного тока». Наиболее распространенным нелинейным элементом переменного тока в электрических машинах, трансформаторах и других аппаратах является катушка со стальным сердечником. Задача 5 предусматривает расчет катушки со стальным сердечником.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ