Казанский государственный технический университет им.А.Н.Туполева

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 2

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Министерство образования и науки РФ

Казанский государственный технический университет им.А.Н.Туполева

Факультет Автоматики и Электронного приборостроения

кафедра ПИИС

Методические указания к лабораторной работе №3

по дисциплине:

Методы обработки биомедицинских сигналов и данных

Основы цифровой фильтрации.

Синтез и анализ цифровых фильтров

Автор-составитель

А.А.Порунов

Казань2007г.

Содержание

Цель лабораторной работы....................................................................................3

I.Краткие сведения из теории

1.1. Общие сведения о цифровых фильтрах.........................................................4

1.2. Синтез цифровых фильтров............................................................................6

II.Практическая часть

Задание на практическую часть..............................................................................9

Исходные данные.....................................................................................................9

2.1. Расчет параметров цифрового фильтра...........................................................9

Выводы.....................................................................................................................12

Заключение...............................................................................................................13

Литература................................................................................................................14

Цель лабораторной работы

1. Приобрести навыки инженерного анализа и расчета цифровых фильтров;

2. Изучить алгоритм процесса разработки цифровых фильтров и основных этапов

их проектирования.

I . Краткие сведения из теории

1.1. Общие сведения о цифровых фильтрах

Цифровой фильтр, как и аналоговый, можно представить в виде системы (аппа­ратура или про­грамма для ЭВМ), которая преобразует последовательность число­вых отсчетов x(kΔ) входного сигнала в последовательность числовых отсчетов у(kΔ) выходного сигнала (где к – число, опреде­ляющее номер отсчета; Δ – период, через который проводятся отсчеты).

Математическая теория цифровых фильтров переносит на случай дискретных сигналов все ос­новные положения, известные из теории линейных систем, преобра­зующих непрерывный сигнал.

Линейная стационарная система преобразует непрерывный входной сигнал x ( t )таким образом, что на ее выходе возникает сигнал у( t ), равный свертке сигнала x ( t ) и импульсной характеристике h ( t ) системы (h ( t ) – реакция системы на входное воздействие в виде дельта-функции):

_{∞ ∞}

у( t ) = ∫ x ( τ ) h ( t - τ ) dτ = ∫ h ( τ ) x ( t - τ ) dτ . (1.1)

^{- ∞ - ∞}

Для того чтобы обобщить выражение (3.1) для дискретных (цифровых) систем, вводится поня­тие импульсной дискретной характеристики цифровой системы (циф­рового фильтра). По опреде­лению импульсная дискретная характеристика дискрет­ного фильтра представляет собой дискрет­ный сигнал {h_k}={h(kΔ)}, который явля­ется реакцией цифрового фильтра на «единичный им­пульс» в виде дискретной по­следовательности 1,0,0,... Значения выходного фильтра будут равны {h₀}={h(0Δ)}, {h₁}={h(1Δ)}, {h₂}={h(2Δ)},... и представляют собой отсчеты импульсной дискрет­ной характеристики:

{h(kΔ)}= h(0Δ), h(1Δ), h(2Δ),...

Линейный цифровой фильтр является стационарным, если при смещении вход­ного «единич­ного импульса» на любое число интервалов дискретизации им­пульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме, на­пример:

(0,1,0.0,...) (0, h₀, h₁,...);

(0,0,1,0.0,...) (0, 0, h₀, h₁,...).

используя понятие импульсной дискретной характеристики {h_k}, можно полу­чить алгоритм функционирования цифрового фильтра, определяющий значение его выходного сигнала {у _k} в момент произвольного m-го отсчета, как:

y(mΔ)=y_m=x(0)·h(mΔ) + x(Δ)·h(mΔ-Δ) +...+ x(mΔ)·h(0)= (1.2)

_{m m}

= x₀·h_m+ x₁·h_{m -1}+…+ x_m · h₀ = ∑ x_k· h_{m -k} = ∑ h_k· x_{m -k.}

^{k=0 k=0}

Формула (3.2) играет ведущую роль в теории линейной цифровой фильтрации и показы­вает, что выходная последовательность {у _k} есть дискретная свертка вход­ного дискретного сиг­нала {х _k} и импульсной дискретной характеристики {h_k}. В момент каждого m-го отсчета цифро­вой фильтр проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного дискретного сигнала, при этом роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной дис­кретной характеристики.

необходимо отметить, что в физически реализуемых цифровых фильтрах им­пульсная дискрет­ная характеристика равна нулю в отсчетных точках, предшест­вующих моменту подачи входного импульса, поэтому операцию суммирования в формуле (3.2) можно распространить на все поло­жительные значения индекса к, т.е.

_{m m}

y(mΔ)=y_m= ∑ x(kΔ)· h(mΔ- kΔ) = ∑ h_k· x_{m -k.} (1.3)

^{k=0 k=0}

Если на вход цифрового фильтра подать гармоническую последовательность вида:

{х _k}={A · e^j(wkΔ+φ)},

то выходной сигнал фильтра {у _k} будет иметь структуру дискретной гармонической последова­тельности, общий член которого равен:

_∞

y(mΔ)= у _k = A · e^j(wkΔ+φ)=∑ A · e^j(wkΔ+φ) h(mΔ),

^m=0

т.е. выходные отсчеты получаются из вводных путем умножения последних на ком­плексное число: _∞

k(jwΔ)=∑ A · e^j(wkΔ+φ) h(mΔ),

^m=0

которое называется частотным коэффициентом передачи цифрового фильтра.

Аналогично передаточной функции непрерывных линейных систем для линей­ного цифро­вого фильтра вводят понятие системной функции H ( z ) равной от­ношению Z-преобразования вы­ходного сигнала Y ( z ) к Z-преобразованию сигнала на его входе X ( z ), которая одновременно явля­ется и Z-преобразованием отсчетных зна­чений импульсной дискретной характеристики {h_k} циф­рового фильтра, т.е.:

_∞

H ( z )= Y ( z )/X ( z )=∑ h_k · z ^{- k} . (1.4)

^к=0

Из сравнения выражений (3.3) и (3.4) видно, что частотный коэффициент пере­дачи цифро­вого фильтра k(jwΔ) получается из системной функции H ( z ), если в последней выполнить подста­новку:

z=e ^jwΔ.

Частотный коэффициент передачи цифрового фильтра можно представить в виде:

k(jwΔ)=| k(jwΔ)|·e ^{jφ ( wΔ)}, (1.5)

где k(jwΔ) определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) фильтра; φ ( wΔ) определяет фазочастотную характеристику (ФЧХ) фильтра.

Как следует из выражения (3.3), частотный коэффициент передачи цифрового фильтра есть периодическая функция частоты с периодом, равным частоте дискре­тизации: w₀=(2π/Δ)=2π·F₀.

Трансверсальными (нерекурсивными) цифровыми фильтрами принято назы­вать цифровые системы, в которых при формировании выходного сигнала в 1-й мо­мент отсчета не используются его значения в предшествующие моменты отсчета. Такие фильтры работают в соответствии с ал­горитмом, описываемым разностным уравнением:

y(iΔ)=a₀·x(iΔ)+ a₁·x(iΔ-Δ)+…+ a_m·x(iΔ-mΔ), (1.6)

где коэффициенты a₀, a₁,... a_m являются соответствующими значениям h₀, h₁,… h_m импульсной дискретной характеристики фильтра; m – порядок трансверсального цифрового фильтра.

Системная характеристика и частотный коэффициент передачи цифрового фильтра имеют соответственно вид:

H(z)= a₀ + a₁·z^-1+…+ a_m·z^-m

k(jwΔ)= a₀ + a₁·z ^-jwΔ +…+ a_m·z^{-m jwΔ} (1.7)

Трансверсальные фильтры называют иногда фильтрами с конечной импульс­ной характеристи­кой (КИХ-фильтры). При аппаратной реализации трансверсальных фильтров основ­ными элементами служат устройства задержки (сдвиговые реги­стры) отсчетных значений на ин­тервал дискретизации, масштабные звенья, выпол­няющие в цифровой форме операции умножения отсчетных значений входного сиг­нала на соответствующие коэффициенты импульсной дискрет­ной характеристики, сумматор, где складываются сигналы с выхода масштабных звеньев, образуя отсчет выходного сигнала, и ячейки памяти, где хранятся прошлые отсчеты входного сиг­нала и элементы импульсной дискретной характеристики.

Рекурсивный цифровой фильтр характерен тем, что для формирования i-го от­счета y(iΔ) используются предыдущие значения не только входного, но и выходного сигналов. Разностное уравнение, определяющее алгоритм функционирования рекур­сивного фильтра, имеет вид:

y(iΔ)= a₀·x(iΔ)+ a₁·x(iΔ-Δ)+…+ a_m·x(iΔ-mΔ) + b₁·y(iΔ-Δ)+…+ b_n·у(iΔ-nΔ). (1.8)

Системная функция и частотный коэффициент передачи рекурсивного цифро­вого фильтра соответственно принимают вид:

_{m n}

H(z)= (a₀ + a₁·z^-1+…+ a_m·z^-m)/(1-b₁·z^-1-…- b_n·z^-n)=(∑ a_k·z^-k)/(1-∑ b_k·z^-k). (1.9)

^{k=0 k=0}

_{m n}

k(jwΔ)=( ∑ a_k·e^{- jwkΔ})/(1-∑ b_k· e^{- jwkΔ}).

^{k=0 k=0}

Рекурсивный фильтр в своих элементах хранит информацию о предшест­вующих состоя­ниях. Поэтому, если заданы некоторые начальные условия, т.е. сово­купность значений y(iΔ-Δ),...y(iΔ-nΔ), то фильтр будет циклически образовывать на выходе элементы бесконечной после­довательности y(iΔ+Δ), y(iΔ+2Δ),..., играющей роль свободных собственных колебаний. Поэтому такой фильтр называют фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр).

Цифровой фильтр как любая динамическая система может быть устойчивым или неустойчи­вым.

Линейный цифровой фильтр с постоянными параметрами называется устойчи­вым, если его импульсная характеристика удовлетворяет условию:

_∞

∑|h_k| < ∞. (1.10)

^k=-∞

Для трансверсального (нерекурсивного) фильтра импульсная дискретная харак­теристика имеет конечную протяженность и поэтому этот тип фильтра всегда устойчив.

Условие ограниченности отсчетных значений выходного сигнала рекурсив­ного фильтра во временной области определяет следующее условие устойчивости в z-области: если задана систем­ная функция рекурсивного фильтра:

H(z)= (a₀ + a₁·z^-1+…+ a_m·z^-m)/(1-b₁·z^-1-…- b_n·z^-n), (1.11)

то числитель и знаменатель ее являются полиномами комплексной переменной z и поэтому могут быть разложены на простые сомножители. Тогда системная функция фильтра будет иметь вид:

H(z)=А·[(z^-1-β₁)· (z^-1-β₂)…(z^-1-β_m)]/[(1-γ₁·z^-1)·(1-γ₂·z^-1)...(1-γ _n·z^-1)], (1.12)

где β_i и γ _j – действительные либо комплексные сопряженные корни. Величины β_i на­зывают ну­лями, а γ _j – полюсами системной функции.

Рекурсивный цифровой фильтр называется устойчивым, если возникающие в нем свобод­ные колебания сигнала на выходе есть невозрастающая последователь­ность независимо от выбора начальных условий, т.е. y(nΔ) < M при n→ ∞, где М-не­которое наперед заданное число.

1.2. Синтез цифровых фильтров

При построении фильтров помех в измерительных каналах ИВС и других сис­тем медицин­ского назначения требования к ним можно свести к следующим:

- фильтры должны обеспечивать фильтрацию помех до уровня допустимой статической погрешно-

сти измерительного канала;

- искажение амплитуды полезного сигнала, вносимое фильтром в диапазоне рабочих частот, не

должно превышать величины допустимой динамической погрешности измерительного канала;

- запаздывание полезного сигнала, вносимое фильтром, должно быть минимальным или учтено

при последующей обработке.

В ряде случаев фильтры, используемые с измерительных каналах медицин­ской аппаратуры, могут быть сведены к многозвенным активным фильтрам, доста­точно просто реализуемым на усилителях постоянного тока или в алгоритмах циф­ровой обработки с передаточной функцией вида:

W_ф(S)=1/(τ · s+1)ⁿ, (1.13)

где τ и n – постоянная времени и порядок многозвенного фильтра. При этом задача обеспечения помехоустойчивости измерительного канала сводится к определению величины τ и n фильтра в зависимости от его динамических характеристик, ампли­туды и частотного спектра полезного сиг­нала и действующих помех.

Аналитические выражения, определяющее изложенные требования к каналу фильтрации, можно представить в виде:

1/(τ₁²·w_α²+1)^n/2≤α_x (1.14)

1/(τ₂²·(w_{x max} )²+1)^n/2 ≥ А₁,

где α_x – отношение допустимой погрешности Δ_х, вносимой помехами в полезный сигнал х, к мак­симальному уровню помехи в сигнале; А₁ – минимальное допустимое значение амплитудно-час­тотной характеристики фильтра (или коэффициент ослаб­ления полезного сигнала) при макси­мальной рабочей частоте w₀=w_{x max}; w_п – частота помехи.

При известных характеристиках полезного сигнала, помехи и заданных требова­ниях А₁ и α_x можно определить постоянную времени τ и порядок n много­звенного аналогового фильтра, кото­рый далее реализуется аппаратно или в устрой­стве цифровой обработки сигналов.

При проектировании цифровых фильтров или алгоритме цифровой фильтра­ции используют приемы синтеза, которые существенным образом базируются на свойствах аналоговых цепей, служащих модельными прототипами цифровых фильтров и алгоритмов обработки.

При использовании метода инвариантных импульсных характеристик вно­сится предположе­ние о том, что синтезируемый цифровой фильтр должен обладать импульсной дис­кретной характеристикой, которая является результатом дискрети­зации импульсной характери­стики соответствующего аналогового фильтра-прото­типа. В этом случае, задаваясь интервалом дискретизации Δ, по импульсной харак­теристике h(t) аналогового фильтра-прототипа определя­ются отсчетные значения h₀, h₁,...h_m импульсной дискретной характеристики фильтра, по которой строят алго­ритм функционирования и определяют другие характеристики фильтра - системную функцию H(z) и частотный коэффициент передачи k(jwΔ) (АЧХ и ФЧХ). Степень приближения характеристик синтезированного цифрового фильтра к характеристи­кам аналогового фильтра-прототипа зависит от выбора интервала дискретизации Δ. По результатам сравнения АЧХ и ФЧХ фильтров уточняются структура и пара­метры цифрового фильтра, например, путем уменьшения шага дискретизации им­пульсной характеристики и увеличения порядка цифрового фильтра.

К выбору структуры и параметров цифрового фильтра, приближенно соответст­вующего свойствам аналогового фильтра-прототипа, можно подойти, осуществив дискретизацию диффе­ренциального уравнения, которое описывает ана­лог. При этом в отсчетных точках t = nΔ произ­водные в дифференциальном уравне­нии заменяют их конечными разностными выражениями вида:

(dX/dt)|_t=nΔ=(X(nΔ)-X(nΔ-Δ))/Δ=(X_n-X_n-1)/Δ

(d²Y / dt²)| _t=nΔ=((dY/dt)|_t=nΔ - (dY/dt)|_t=nΔ-Δ)/Δ= (1.15)

=[(Y(nΔ)-Y(nΔ-Δ))/Δ - (Y(nΔ-Δ)-Y(nΔ-2Δ))/Δ]·(1/Δ).

Подставляя в дифференциальное уравнение аналогового фильтра-прототипа значения произ­водных, выраженных через разностные выражения, получают разно­стные уравнения, описы­вающие алгоритм функционирования соответствующего цифрового фильтра. применяя к полу­ченному разностному уравнению z-преобразо­вание, получают системную функцию и частотный коэффициент передачи, опреде­ляющие структуру, параметры и характерные свойства цифрового фильтра.

При задании характеристик аналогового фильтра-прототипа в идее передаточ­ной функции W_ф(z) системную функцию H(z) соответствующего ему цифрового фильтра можно определить пу­тем замены оператора Лапласа s на (1-z^-1)/Δ.

При использовании метода идентификации частотных характеристик струк­туру и пара­метры цифрового фильтра определяют с помощью так называемого «би­линейного преобразова­ния», которое устанавливает связь между оператором Лап­ласа z-передаточной функции W_ф(s) ана­логового фильтра-прототипа и оператором z соответствующей системной функции H(s) цифрового фильтра:

s = (2/Δ)·[(z-1)/(z+1)]= (2/Δ)·[(1-z^-1)/(1+z^-1)]. (1.16)

Полученная при такой замене системная функция H(z) цифрового фильтра оказывается дробно-рациональной и позволяет непосредственно получить алгоритм цифровой фильтрации.

При использовании «билинейного преобразования» связь между частотной характеристи­кой W_ф(jw) аналогового фильтра и частотным коэффициентом передачи k(jw) цифрового фильтра вытекает из соотношения между частотной переменной w_а аналоговой цепи и частотой w_ц цифро­вой системы вида:

w_а=(2/Δ)·tg(w_ц·Δ/2). (1.17)

Следовательно, если имеются частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) аналогового фильтра, то для получения соответствующей частотной характеристики цифрового фильтра необ­ходимо лишь произвести изменения масштаба частоты в соответствии с выражением (1.17).

Необходимо отметить, что при «билинейном преобразовании» импульсная дискретная харак­теристика цифрового фильтра не будет соответствовать импульсной характеристике анало­гового фильтра-прототипа.

II . Практическая часть