Критерии согласия для проверки гипотез

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 23
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

Критерии согласия применяются для проверки гипотезы о законе распределения исследуемой случайной величины. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен. Поэтому выдвигается гипотеза о соответствии имеющегося эмпирического закона, построенного по наблюдениям, некоторому теоретическому. Данная гипотеза требует статистической проверки, по результатам которой будет либо подтверждена, либо опровергнута.

Критерий согласия Пирсона - χ2 – один из основных, который можно представить как сумму отношений квадратов расхождений между теоретическими и эмпирическими частотами к теоретическим частотам:

χ2 =

Для распределения χ2 составлены таблицы, где указаны критические значения критерия согласия χ2 для выбранного уровня значимости α и степеней свободы k.

Число степеней свободы k определяется как число групп в ряду распределения (s) минус число связей: k = s – r. Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при вычислении теоретических частот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты. Например, при выравнивании по кривой распределения Эрланга или нормального распределения имеется три связи. Поэтому число степеней свободы определяется как k = s – 3. Для распределения Пуассона число k = s – 2.

При полном совпадении теоретического и эмпирического распределений

χ2 = 0, в противном случае χ2 > 0. Если χ2расч > χ2табл, то при заданном уровне значимости и числе степеней свободы гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняем. В случае, если χ2расч< χ2табл гипотезу принимаем и с вероятностью Р можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно.

Пример. Проверим гистограмму, полученную в занятии 9 для 9-и канального устройства, на соответствие распределению Эрланга. В данном случае число групп в ряду распределения (число интервалов гистограммы) равно 10. Поэтому эмпирические и расчётные данные сводим в таблицу 1.

 

Таблица 1

i Pi ni mi ni - mi (ni - mi)2 (ni - mi)2/ni
1            
2            
3            
4            
5            
6            
7            
8            
9            
10            
χ2 = Σ            

Эмпирические данные для данной таблицы mi берутся непосредственно из отчёта модуля 9. Расчётные значения вычисляются как ni = Pi * N, где Pi определяется по формуле Эрланга (можно воспользоваться программой erlangcalc), а N соответствует длине прогона (число, устанавливаемое при команде Start).

После этого проверяется гипотеза по таблице 2 о соответствии гистограммы распределению Эрланга. В нашем случае число степеней свободы

k = s – 3 =10 – 3 = 7. Пусть в результате расчета по таблице 1 оказалось, что χ2 = 2,5. Тогда по таблице 2 для k = 7 находим, что 2.17< χ2<2.83, и делаем вывод о том, что с вероятностью Р, лежащей между 0.9 и 0.95, гипотеза о соответствии эмпирического распределения распределению Эрланга является правдоподобной.

Таким образом, любой критерий согласия не подтверждает однозначно правильность гипотезы о законе распределения исследуемой случайной величины. Критерий лишь определяет вероятность правильности гипотезы. А при проверке нескольких гипотез (например, соответствие эмпирического распределения нормальному или эрланговскому) можно принять более вероятную.

Таблица 2. Значения квантили χα2 в зависимости от уровня вероятности и числа степеней свободы k

k

Вероятность P(χ2 > χα2)

0.99 0.95 0.90 0.7 0.50 0.3 0.10 0.05 0.01
1 0.00016 0.0039 0.016 0.148 0.455 1.074 2.71 3.84 6.63
2 0.020 0.103 0.211 0.713 1.39 2.41 4.61 5.99 9.21
3 0.115 0.352 0.584 1.424 2.37 3.66 6.25 7.81 11.3
4 0.297 0.711 1.06 2.20 3.36 4.88 7.78 9.49 13.3
5 0.554 1.15 1.61 3.00 4.35 6.06 9.24 11.1 15.1
6 0.872 1.64 2.20 3.83 5.35 7.23 10.6 12.6 16.8
7 1.24 2.17 2.83 4.67 6.35 8.38 12.0 14.1 18.5
8 1.65 2.73 3.49 5.53 7.34 9.52 13.4 15.5 20.1
9 2.09 3.33 4.17 6.39 8.34 10.66 14.7 16.9 21.7
10 2.56 3.94 4.87 7.27 9.34 11.78 16.0 18.3 23.2
11 3.05 4.57 5.58 8.15 10.3 12.90 17.3 19.7 24.7
12 3.57 5.23 6.30 9.03 11.3 14.01 18.5 21.0 26.2
13 4.11 5.89 7.04 9.93 12.3 15.12 19.8 22.4 27.7
14 4.66 6.57 7.79 10.82 13.3 16.22 21.1 23.7 29.1
15 5.23 7.26 8.55 11.72 14.3 17.32 22.3 25.0 30.6
16 5.81 7.96 9.31 12.62 15.3 18.42 23.5 26.3 32.0
17 6.41 8.67 10.1 13.53 16.3 19.51 24.8 27.6 33.4
18 7.01 9.39 10.9 14.44 17.3 20.6 26.0 28.9 34.8
19 7.63 10.1 11.7 15.35 18.3 21.7 27.2 30.1 36.2
20 8.26 10.9 12.4 16.27 19.3 22.8 28.4 31.4 37.6

 

 

Список использованной литературы

1. Шрайбер Т.Дж. Моделирование на GPSS. M. Машиностроение. 1980.

2. Руководство пользователя по GPSS World. /перевод с английского/. – Казань: Изд-во «Мастер Лайн», 2002. – 384 стр.

3. Нерсесянц А.А. Моделирование систем и сетей связи. Методическое пособие по дисциплине: «Моделирование систем и сетей связи». Ростов-на-Дону: СКФ МТУСИ, 2013. – 86 с.: