Определены все члены функционал ряда.Область сходимости числового ряда это множ-во знач

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 1

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

1)Если каж знач перемнной величины х, принадл некоторому множву Х, соответствует

oдно и только одно знач велич у из множва У, то говорят, что задана ф-я, опред на множве Х со знач в множ У, х назыв аргументом или независ перемнной. Множво Х назыв областью Опред функции, а множво У множвом значений фунции Способы задания: 1.Аналитический(формула),2.Графический (График-множво точ плоскости с координ (х,f(x)) Абсциссы-числа из обл определен,ординаты-соответст знач фуции,3.Табличный,4.Словестный Отношение f, по которому каждому х находящееся соответствие у описывается словесно. Например, y=[x] : x из R (Целой частью х из R называют любое целое число не превосходящее х). Классифф:-алгебраическ(рацион и иррацион(числов и дробные),и трансцендентные (тригонометрич,логарифмич)Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а u, в свою очередь, функцией от х, то есть u = φ(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения φ(х) входят в множеств определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u-промежуточным аргументом

2)Чис послед(опред)-если кажд натур числу n Э N постав в соответ Х_n Э R,то зад чис посл { Х_n} Опред:Число А-предел чис пос {xn},если для любого сколь угод малого полож чис Е найдет такой номер N,что для всех номеров n > N,выполняется нер-во |xn-A|<E.Числ послед, имеющ конечн пред назыв сходящ, в против случ расход. Опред:Пусть фция

f(x) опред в окрестн х0,кроме точки х0. Число А-пред этой фции при х—х0,если для любого сколь угодно малого Σ>0,найдется δ(дельта)>0,что как только аргумент х удовлетвор нерву 0<|x-x0| <δ,то выпол нерав |f(x)-A|< Σ. И график.

3)Опр:Фунця f(x) бескон малая при х→х0,если ее lim=0 при х→х0.Св-ва:Алгебраич сумма

конечн числа бескон малых фций есть беско малая(это свво вып для конечного числа

б.м. фций, т.е. сумма кон числа б.м. есть б.м.f(х) назыв огран при х→х0 если она огран в нек окрест этой точки.) .Произвед бескон малой фции на огран фцию есть бескон малая.(докво) Следствие: :произвед конеч числа бескон малых явл бескон малой. Об отнош двух б.м. никак общ вывод сдел нел. Опр:Фция f(x) бескон большая при Х→х0,если lim|f(x)|= +∞ при х→х0.Св-ва:Сумма и произвб.б. есть б.б. Произв б.б. на фцию, пред кот=о есть б.б. Отнош б.б. на огран есть б.б. Сумма б.б. и огран.есть б.б. Об

отнош и разнос б.б. общего выв сдел нельз Связь б.б. и б.м.(теорема) велич,обратн б.м. –б.б.и наоб(докво) Связь фции и ее предела: число А это lim(х→х0) f(x) тогда,когда разность f(x)-A-б.м. при х→х0. Сравнение б.м.Пусть α(х) и β(х) –б.м. при х→х0. Если lim(х→х0)α(x)/β(x)=0, то α(х) б.м. более выс порядка, чем β(х). Если этот предел =∞, то β(х) более высокого порядка малости, чем α(х).Если пред равен const, то α(х) и β(х) однопорядк б.м., если пред=1, то α(х) и β(х) эквивал б.м.

4)Теоремы о пред.1)Пред постоянной=постоянной2)Если ф-я имеет кон пред, то он единств(докво) 3)Если фунции f(x) и g(x) име.т кон пред при х→х0, то их сумма, произ, частное тоже имеют кон пред и при этом вып формулы(лист)доква) Пост множ выносит за знак пред(лист)4)Если ф-я f(x) имеет кон пред и в х0 и нек её окрестности сущ корень n-ой степ из f(x), то пред этого корня буд равен корн n-ой степ из f(x) Теоремы о сущ пред:5)Монотонно возраст и огран сверху функция имеет кон предел(то же и с монотонно убыв и огран снизу)6)Теорема о промежуточной ф-ии. Если в нек окрест точки х0 ф-я f(x) заключена между двумя ф-ми g(x) и n(x), кот имеют равн конечн пред, то ф-я f(x) тоже имеет кон пред.(лист) 5)Одност пред:любой интервал (α,х0)назыв лев окрест х0 и наоборот.Если сущ конечн пред ф-ии f(x) при стремлен Х к х0 слева, то этот пред назыв левым пред ф-ии и наоборот(лист) Если для каж ε > 0 сущ такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовл услов |x – a| < δ, x ≠ a, вып нерав |f (x)| > ε,то гов, что ф-я f (x) имеет в точ a беск пред.

6)Замеч пред. 1 зам пред)пред отношен sin бесконеч малой дуги к

самой дуге, выраж в рад=1 :Lim (при α→0) sin α/α=1(докво)(лист)

2 замеч пред)

Раскр неопред:(0/0)-разложить на множ числ и знам и сократ члены, стремл к 0

(∞/∞)-разделить числ и знам на х в наивысш степени. Можно применить прав Лоп

(0 -∞) или (∞-∞)- свести к другой неопредел.

7)Фция f(x) непрерывна в т.х0,если есть ее конеч пред при х→х0 и этот пред=знач фции в т.х0 Фция f(x) непрер в т.х0 справа если есть конеч правый пред при х→х0,и этот пред=знач фции в т.х0 и наоборот(слева если есть конечный левый пред).Фция непрер на интервале (а,в) если она непрер в каждой т. этого интервала.Фция непрер на отрезве [а,в],если она просто непрер на интерв (а,в),и в точке а-непрер справа,а в точке в-слева. Необходимое и достат услов непрерыв фции: Для того, чтобы ф-я у = f(х) была непрерыв в х0, необх и дост, чтобы необходимо и достаточно, чтобы пред дельта у, при дельта х стрем к 0, был =0.(лист)

8)Теорема о непре сумм, произв и частн непрерыв ф-ий

Если y=f(x) и y=g(x) непрер в х0, то в этой т непрер ф-ии суммы, произ, частного

этих ф-ий 1). Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная.
Доказательство. Пусть фции f(x) и g(x) непрер в точке a. Тогда Lim f(x) при x→a=f(a)

и lim g(x) при х→а = g(a).Согласно свойству пределов фций сущест пределов фций f(x)

и g(x) гарантирует существование предела их суммы. При этом

что и требовалось доказать.

Докво теорем 2 и 3 аналогично,только сумму мен на произв и частное.

9)Св-ва непрерывных фций:1.Теорема Вейерштрасса: Если функция опред и непрер на отрезке [а, в] , то она ограничена и достигает своего наим. и наиб. Значения на этом отрезке. 2.Теорема Больцано-Коши: Если функция опред. и непрер. на отрезке [а, в] и на его концах принимает значения противоположных знаков, то на интервале (а, в) найдется хоть одна точка С, в которой функция будет = 0. 3.Теорема(3): Если функция опред. и непрер. на [а, в] ,а m и M- наим. и наиб. значения на этом отрезке, то для любой точки С из отрезка [m, M] найдется хотя бы одна точка Сна отрезке [а, в] такая, что

выполняется равенство:f(c)=C Классификац точек разрыва:если в нек. Точке нарушено усл непрерыв, то такую т. назыв Т. разрыва .Опред: если есть конеч односторон пред фции y=f(x) в т.х0 и хотя бы 1 их них не = знач фции в т.х0,то х0 –это точка разрыва 1 р., а величина(дельта)(лист) назыв скачком ф-ии(разность одност пред) Если в т. разрыва 1 р.одностпред равны, то разрыв назыв устран. Если сущ кон прав пред в х0 и он =знач ф-ии в х0, но лев не равен, то в х0 справа непрер-ть, слева-разрыв. Опред:если хотя бы 1 из односторонн lim f(x) в т.х0не существует или обращается в беконечность то х0-это разрыв 2 рода.

10)Пред положен М0М1 при стремлен М1кМо вдоль кривой назыв касательной ф-ии в точке с абсциссой М0(лист)

11)Опред: Производ фции y=f(x) в точке х назыв пред отнош приращ фции к приращ аргумента при стремл послед к 0, если этот пред сущ и конечен(лист) Геометр смысл: tg угла наклона касательной,пров к граф фции в т.х0 = значен произв фции в этой точке: f ’(x0)=k=tg ϕ/ Физич.смысл: скорость движ т. в момент времени= произв пути во времени.Ур-ние касат к граф ф-ии y=f(x0) в точке (х0;у0) имеет вид у-у0=f’((х0)(х-х0) 12)Опр.Если пред(∆x→0)∆y/∆x=±∞,то полагают что произв обращается в беск.Если есть кон пред(∆x→0+0)∆y/∆x,то его назыв левосторонней

произв ф-ии: f ’₊(x) .Если есть конеч (∆x→0-0)∆y/∆x,то его назыв правосторон

произв фции: f ’_(x).Опред:фция y=f(x) назыв диф в т.х,если она

имеет в этой точке конечн производн,и назыв недиффер,если произв в точке

не существует или обращается в беск.

13) Т: если ф-я у= f(x) диф в т.х,то она в этой точке непрер.

Док-во: пусть фция у= f(x) деффер в т.х,значит есть и произодн у=lim(∆x→0)∆y/∆x

∆y/∆x=y ’ + α(∆x), lim ∆ y = lim (∆ x → 0)( y ’∆ x +α(∆ x )∆ x )-приращ диффер фции.

lim ∆ y = lim (∆ x → 0)( y ’∆ x +α(∆ x )∆ x )= lim (∆ x → 0) y ’ ∆ x + lim (∆ x → 0) ( |α|∆ x )∆ x ))=0+0

значит ф-я непрер в точке х.Следствие:если фция в точке разрыва,то она не

диф в этой точке и не имеет конеч производн.Обрат не вып,то

есть ф-я м. б. непрер,но диффер-мой не явл.(докво)

14)Теорема:если ф-я u(x) и v(x) диф в т.х,то: 1) алгеб сумма этих

ф-й тоже диф в т.х и выполняется рав-во: (u+v) ’=u ’+ v ’

2)произв этих ф-й тоже диф: (uv) ’=u ’v + uv ’

3)частное этих ф-й тоже диф:(u/v) ’=(u ’ v – uv ’)/v², но v не = 0

15)Опр:производ фции f(x) назыв lim отношения приращения фции к приращ

независимой переменной при стремлении последнего к 0 (если этот lim есть)

Таблица произ: x ’=1; c’=0; (u^α) ’=αu^α^-1;( √x) ’=x ’/2√x ; (1/x) ’= -x ’/x ²;

(a^x)’=a^xlnau ’;(e^u) ’=e^uu ’; (log_au) ’=u ’/lnau’; (lnu) ’=u’/u ; (sinu) ’=

=cosuu’ ; (cosu) ’= -sinuu’ ; (tgu) ’=u ’/cos²u ; (ctg) ’= -u’/sin²u ;

(arcsinu) ’=u’/√1-u²; (arcos) ’= - u’/√1-u²; (arctgu) ’= u’/1+u²;

(arcctg) ’= - u’/1+u².Теорема о произв слож ф-ии: Если фция u=ϕ(x) имеет

произ u_x’ в точке x, а функция y=f(u) имеет производную y_u ’ в соответст точке u=ϕ(x),

то сложная фция y=f(ϕ(x)) имеет произв y_x’ в точке x, которая находится по формуле

.Док-во:По условию . Отсюда, по теореме о связи

фции, её предела и бесконечно малой фции, имеем или

, где a→0 при ∆u→0.Функция u=ϕ(x) имеет производ в

точке x: , поэтому:, где β→0 при ∆x→0.

Подставив значение ∆u в равенство , получим:

;

. Разделим получ равен

на ∆x и перейдя к пределу при ∆x→0, получим .(лист)

16)Опр: линейн, относ ∆х часть приращ ф-ии назыв диф ф-ии(dy) и =f’(x)

Св-ва дифф:1)Дифф-ал постоянной равен нулю:dc = 0, с = const.2)Дифф-ал суммы

диф ф-й равен сумме дифф-лов слагаемых: d(u+v)=du + dv.Следствие:если две диф ф-и

отлич постоян слагаемым, то их дифф-алы равны: d(u+c) = du (c= const).3)Диф произв

двух дифф-мых фций равен произведению первой фции на дифф-ал второй плюс

произведение второй на дифф-ал первой:d(uv) = udv + vdu.Следствие. Постоянный

множит можно выносить за знак диф-ала: d(cu) = cdu (с = const).4)Диф-иал частного u/v

двух диф-мых фций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой d(u/v)=(vdu – udv)/ v ²

Геометр смысл диф-ла: проведем к граф ф-и y=f(x) в точку M(x,y) касат MT и рассмот

ординату этой касат для точки x+∆x. На рис |AM|=∆x, |AM₁|=∆y. Из прямоуг треуг MAB

имеем: tgα=|AB|/∆x, т.е.|AB|=∆xtgα . Но, согласно геометр смыслу производ, tgα=f ’(x).

Поэтому AB=f ’(x)∆x или dy=AB. Это означает,что диф-ал фции y=f(x) в т.х равен приращению

ординаты касат к граф фции в этой точке,когда x получает приращение ∆x. Инвариантность: Пусть теперь дана сложная (дифференцируемая) функция , где Тогда по формуле производной сложной функции находим ,так как

Итак , т.е. формула дифференциала имеет один и тот же вид для независимой переменной и для промежуточного аргумента,представляющего собой дифференцируемую функцию от х.

Произ высших порядков:Пусть y=f(x) нек диф ф-я, произ от кот тоже диф. Произв ф-ии

у '(х)= f '(x) обознач y''= f''(x) и назыв 2-ой произ или произ высш порядка.

17) При вычислении пред для раскрытия неопределенностей вида (0/0) и (∞/∞)

используется теорема, известная как правило Лопиталя.Теорема:Пред отношен

двух б.м и б.б. ф-й равен пред отношения их производных, если последний существует.

Примечания:1)Эта теорема справедлива при x→ ± ∞ .2)Правило Лопиталя можно

применять повторно.3)Применяя правило Лопиталя, надо дифференцировать не дробь,

а отдельно числитель и знаменатель.4)На каждом этапе применения правила Лопиталя

следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а

также комбинировать эти правила с любыми другими приемами вычисления пределов.

18) 1. Условие постоянства функции.Теорема. Пусть функция f(x) определена в промежутке X и имеет внутри него конечную производную f ’(x),а на концах (если они принадлежат X) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f(x) была в X постоянной, достаточно условие f ’(x)=0 внутри X. Доказательство. Пусть это условие выполнено. Фиксируем некоторую точку x0 из промежутка X и возьмем любую другую его точку x. Для промежутка [x0, x] [x, x0] удовлетвор все условия теоремы Лагранжа(если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и диф-ема на интервале (a; b), то существует хотя бы одна точка x0 Э (а,б) такая, что f(b)-f(a)=f ’(x0)(b-a))

След можем написать f(x) – f(x0)=f¢(c)(x - x0), где c содержится между x и x0, а значит,

заведомо лежит внутри X. Но, по предпол-ю, f(c)=0, так что для всех x из X

f(x)=f(x0)=const,и наше утверждение доказано.

19) Опред: ф-я у=f(x) возраст на числ пром-ке Х, если для люб двух точек х1,х2 из того, что х1меньше Х2 след f(x1) меньш f(x2)(больш знач аргум соответ больш знач ф-и)убывающ-наоборот Необ и дост усл возраст и убыв ф-ии.1)Если диф-емая ф-я y=f(x) возрастает на [a, b], то ее произв неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0 и наоборот.2)Обратно. Если ф-я y=f(x) непрерывна на [a, b], дифф-ма на (a, b) и ее произ-ная положительна этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b]. Док-во:

1)Докажем первую часть теоремы. Итак,пусть ф-я y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) - f(x)>0. Но тогда и (f(x+∆x)-f(x))/∆x>0. Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x)<0,а (f(x+∆x)-f(x)) /∆x>0 . Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим lim(∆x→0) (f(x+∆x)-f(x))/∆x≥0 ,

то есть f '(x)≥0.2)Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)>0 при всех x Э (a,b). Рассмотр 2 любых значения x₁ и x₂ таких, что x₁ < x₂. Нужно док-ть,что f(x₁)< f(x₂). По теореме Лагранжа существует такое число c Э (x₁, x₂), что f(x₂)-f(x₁)=f ’(c)(x₂-x₁). По условию f '(x)>0, x₁ – x₂>0Þ f(x₂)-f(x₁)>0, а это и значит, что f(x) – возраст ф-я.

2. Если f(x) убывает на[a,b], то f ’ (x)< либо = 0 на этом отрезке. Если f ’ (x)<0 на (a; b),

то f(x) убывает на [a, b],в предположении ,что f(x) непрерывна на [a, b]. Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее произв. Чтобы найти на каком промежутке ф-я возраст или убывает, нужно определить, где произв этой ф-и только положит или только отрицат,то есть решить нерав-ва f '(x)>0 – для возраст или f '(x)<0 – для убыв.

20) Опред: Пусть фция y=f(x) определена на (а,в).Точка х0 Э (а,в) назыв. точкой

макс(мин),если найдется некотор окрестность этой точки, для всех точек кот

будет выполняться условие: f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0). Точ макс(ми)-это точки экстремума.Теор:Необ признак эксрем:если т.х0-это т. макс (мин),

то произв в этой т. =0 или не сущ.(докво)Необ усл экстр дост не явл. Внутр точки из обл опред котор произв или не сущ, или =0, или = беск, назыв крит точками. Это точки возм экстрем. Точки произв кот=0 назыв стацион. Теорема: Достат призн экстрем: 1)Пусть xо - критич точка. Если f ' (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в т. xо ф-я имеет макс,в прот случае - мин. Если при переходе через критич точ произв не меняет знак, то в точке xо экс нет.2)Пусть функция f(x) имеет произв f ' (x) в окрест т. xо и вторую произ-ную f"(xo) в самой точ xо. Если f '(xо) = 0, f"(xo)>0 (f"(xo)<0), то точка xо является точкой мин (макс) ф-и f(x). Если же f"(xo)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием либо привлекать высшие производные.

21)Опр:граф ф-и y=f(x) назыв вып (вогнут) на (а,в),если касат к граф,провед

в любой т. этого интервала,распол над (под) граф ф-и.Теорема: если 2 произ-ная

дважды дифф-мой фции на некотором интервале положительна(отрицат),то

граф ф-и на этом интервале вогнут(вып)Точки, в кот происх направл вып(вогнут),

назыв точки перегиба.

22)Теорема.1)Достат усл вып вниз: если ф-я у=f(x) имеет на числ пром-ке Х

полож вторую произв, то граф ф-и будет вып вниз на этом пром-ке(докво)

дост усл вып вверх: если ф-я у=f(x) имеет на Х отриц втор произв, то граф буд

вып вверх на всем пром-ке.

23) Теорема: Необх усл перегиба: Если т.х0-это т.перегиба граф

дважды диф ф-и,то в это точке 2-ая произв =0. Опр:точки,в котор

2-ая произ-ная =0, или не сущ, или =+-беск назыв критические точки.Достаточ

услов перегиба:если 2-ая произ-ная,дважды диффер в нек точке ф-и =0 и при

переходе через нее 2-ая произв мен знак,то данная точка-это точка перегиба.

24)Опр: прямая х=а назыв вертик асимптотой к граф ф-и y=f(x),если хотя

бы 1 из односторон пределов обращен в беск: lim(х→а ±0) f(x)

= +∞ или - ∞,а в точке а ф-я терпит разрыв 2 рода. Опр:прямая у=в назыв

горизонт асимптотой к граф ф-и у=f(х) если lim(x→± ∞)f(x)=в.Опр:прямая

у=kx+b назыв наклонной асимптотой к граф фции,если ф-ю можно

представить в виде f(x)=kx+b+α(x),где α(х)-бесконеч малое при х→∞

25)Опр: фция F(x) назыв первообразной для ф-и f(x) на пром-ке х, если в каж

точке х этого пром-ка F ’(x)=f(x).Опр:совокупность всех первообраз для ф-и f(x)

на пром-ке Х назыв неопред инт от ф-и f(x) и обознач ∫ f(x)dx. Теоремы: 1)если F(x)

это первообр f(x) то любая ф-я вида F(x)+с тоже первообр для f(x) 2) если F₁(x) и F₂(x)

первообр для f(x) тогда их разность это нек const Св-ва неопр интег:1)произ-ная от неопр

интег равна подынтегр ф-и ( ∫f(x)dx) ’=f(x).2)диффер-циал от неопр интег равен подынтегр выр-ю d( ∫f(x)dx)=f(x)dx.3)неопр интегр от диф-ла некотор ф-и равен этой ф-и плюс константа ∫ dF(x)=F(x)+c. 4)постоян множит вын за знак неопр интег∫ kf(x)dx=k ∫ f(x)dx. 5)неопред интегр от алгебраич суммы нескольких ф-й равен алгебраич сумме неопред интегр этих ф-й.∫(f₁(x)±f₂(x))= ∫f₁(x)±∫f₂(x). Независим вида неопр интегр от выбора аргум:всяк формула интег-ния сохраняет свой вид при подстановке вместо независим переменной любой диф-мой ф-и, т.е.если ∫ f(x)dx=F(x)+C где F ’(x)=f(x)

то ∫ f(u)du=F(u)+C где u=u(x) – любая диф-мая ф-я.Пример:если ∫sinxdx= -cosx+C, то∫ sinudu= -cosu+C, где –ф-я от х.Таблица неопр интег:∫0dx=c; ∫dx=x+c; ∫x^αdx=(x^α⁺¹/α+1)+c;

∫dx/x=ln|x|+c;∫sinxdx= -cosx+c;∫cosxdx=sinx+c;∫e^xdx=e^x+c;

∫a^xdx=a^x/lna +c;∫dx/√1-x²=arcsinx+c;∫dx/1+x²=arctgx+c;∫dx/cosx²x=

=tgx+c; ∫dx/sin²x= -ctgx+c;∫dx/a²+x²=1/a ∙arctgx/a+c;∫dx/√a²-x²=

=arcsinx/a+c; ∫dx/x²-a²=1/2a∙ln|x-a/x+a|+c; ∫dx/√x²+a=ln|√x²+a|+c

Непосредств интегрир:это интегрир с помощью свойств интегралов и таблицы.

26)Метод замены перемен:Рассмот неопред интег F(x) некоторой ф-и f(x).

Для упрощения вычисления интег часто удобно выполнить замену перемен.

Переход от x к новой перемен u описывается выражением

∫f(x)dx=∫f(g(u))g’(u)du=F(u)=F(g^-1(x)). где x = g (u) - подстановка.Соответственно,

обратная -ия u = g⁻¹(x) описывает зависимость новой переменной от старой.

Пример:Вычислить Сделаем замену u=x/a . Тогда x=au, dx=adu

.Следовательно, интеграл принимает вид

Метод интегрир по частям: пусть u=u(x) и v=v(x)-это диф-е фи.По св-ву диф-ала:D(uv)=vdu+udv. Интегрируя правую и левую части получим:∫udv=uv+∫vdu.Это формула Интегрир по частям.При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выр-я искомого интегр на 2 сомножителя (u и dv).При переходе к правой части 1 из них диф-ется(du=u ’dx),а второй интегрируется (v=∫dv+c).

27)Задача о вычислении Sкрив трапец(фигура на плоск, образ отрез (а:b), верт прям А и Б и граф Непрерын неотрц ф-и у=f(x) назыв кривол трап) Пусть на [a,b] есть неотрицат,

Непрерыв ф-я y=f(x) аАВb-это криволинейн трапец1)произвольно разбиваем отрезок [a,b] по оси ОХ на n-частных отрезков,точки обозначаем а=х₀<х₁<…<x_i<_xi₊₁<..x_n=b.В каждом частич отрезке [x_i_-1;x_i] нах знач ф-и f(x) в точке ξ_i f(ξ_i).Обозначим разность ∆х_i=x_i-x_i_-1 x через ∆х Обознач длину наибольш част отрезка ∆х=max∆x_i Находим сумму произведений значений ф-и f(ξi) на ∆хi ,это будет G= f(ξi)-∆xi .G-интегральная сумма ф-и f(x) на отрезке [a,b].Находим предел G при ∆х→0.Площадь трапеции=lim(∆x→0)G=

=lim(∆x→0)Σⁿ_i₌₁f(ξi)∆xi. Опр:если есть конеч предел итегральной Суммы G при ∆х→0,не зависящий от способа разбиения [a,b] на частичные отрезки и выбора точек

ξi то этот предел называется опред интегралом f(x) на [a,b]. lim(∆x→0)Σⁿ_i₌₁f(ξi)∆xi.=

= . Геометрич смысл опред интегр: Если f(x) непрерывна и положительна

на [a, b], то интеграл представляет собой площадь кривол трап,

огран линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).Св-ва опред интегр:1) опред интег-это число,

зависящее от промежутка интегрир [a,b],подинтеграл фции f(x) и независящ от переменной интегриров = . 2)если а=b,то = =0

3)при перемене мест пределов ин-я интегр лишь мен свой знак.4) при любом располож точек a,b,c в пром-ке интегрируемости f(x) выполняется рав-во: + .5)постоянный множ выносится за знак опред интегр6)опред интерг от алгебраич суммы нескольких ф-й равен алгебр сумме опред интегр этих ф-й. 7)если на [a,b] f(x) g(x), то .Теорема о среднем знач: если f(x) непрерывна на [a,b] то на этом отрезке найдется такая точка С,что =(b-a)f(c ).Док-во: f(x) непрерыв на [a,b],значит есть m-наименьш знач И W-наибольш знач. m<F(x) W проинтегрир нер-во m(b-a) W(b-a)/:(b-a) m /(b-a) W. c э [a,b]. f(c )= /(b-a)

f(c)(b-a)= . Теорема (существ первообраз для непрер фции):Если

f(x) непрер на [a,b],то Ф(х)= диффер-ема на [a,b] и ее пр-ная

Ф ’(х)=f(x).Док-во:возьмем х э [a,b],даем приращ ∆х,попадаем в точку х+∆х э [a,b],

Тогда Ф получит приращ ∆Ф=Ф(х+∆х)-Ф(х)=

+ ξ э [x,x+∆x] рассмотрим ∆Ф/∆x=

= = ∆xf(ξ) / ∆x= f( ξ) ; lim(∆x→o)∆Ф/∆x= lim(∆x→o)f(ξ)=f(x) Ф ’(х)=f(x)

28)Вычисление опред интегр:1)через замену перемен:пусть ф-я ϕ(t) имеет непрер производ на отрезке (α,β), а=ϕ(α), b=ϕ(β) и ф-я f(x) непрерыв в каждой точке х вида х=ϕ(t),где t э [α,β]. Тогда справедливо рав-во: = 2) Интегрир по частям: пусть ф-и U=u(x) и v=v(x) имеют непрерыв произв на [a,b],тогда: _a^b^- где _a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a).3)непосредствен интегрирован.формула

Ньютона-Лейбница:Если f(x) непрер на [a,b], а F(x)-первообраз ф-и f(x),то

=F(b)-F(a)=F(x)|^b_a.Док-во: Ф(х)= -это Первообраз для f(x). Ф(х)=F(x)+c , x=a, Ф(а)=F(a)+c; c= -F(a) ; Ф(а)= ; Ф(х)=F(x)-F(a); X=b; Ф(b)=F(b)-F(a); Ф(b)= ; =F(b)-F(a).

29)Несобст интегр 1 рода:1) пусть f(x) непрер на [a,+∞).

Рассмотрим = F(b)-F(a); F(x)-первообраз f(x); lim(b→+∞)f(x)dx=lim(b→+∞)(F(b)-F(a)) (1) Опр: если есть конеч предел (1),то говорят что несобств интегр сходится И равен этому пределу.Вобратном случае он расходится,т.е. он равен ∞ или не существует. 2) пусть f(x) непрер на ( -∞;в]. -? Выбираем а <в. Рассмотрим = F(в)-F(a) lim(a→ - ∞) ) (2). Опр: если есть конеч предел

(2),то несобствен интегр сход и =этому пред. И расходится если

пред не сущ или = .Интегр Пуассона: .Несобс интег 2

Рода( от разрывных ф-й) 3) пусть f(x) непрер на [a,b). Возьмем Е>0.Рассмот =

=F(b-E)-F(a); lim(E→0+0) =); lim(E→0+0)( F(b-E)-F(a)) (3). Опр:если есть

кон пред (3) то несобств интегр назыв сходящ и равен ему. 4) Пусть f(X)

Непрерыв на (а;b]. Возьмем Е>0.Рассмотр =F(b)-F(a+E). lim(E→0+0)F(b)-F(a+E).

(4) Опр:если есть конеч пред (4) то несобст интегр сходится и равен этому пределу.3) пусть f(x)

непрер на [a,c) v (c,b]. Е>0 и Ϭ>0. Рассмотр =F(c-E)-F(a) и =F(b)-F(c+Ϭ)

(5 ) Опр: еси есть оба конеч предел (5) ,то интегр сходит

И равен их сумме.если хотя бы 1 из них не сущест или равен ∞ то расходится.

30)Опр: пусть D это нек множ-во в простран-ве Rn-ая, а U-мн-во действ чисел. Если в кажд т.МЭD поставлена

В соответ с нек прав число u из U, то гов, что зад ф-я неск перемен u=f(M)/Граф ф-и 2 переменн Z=f(x,y)

это мно-во точек трехмерного пространства (x,y,z),аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у

функциональным соотношением Z=f(x,y).Это некоторая поверхность в трехмерном пространстве.

Опр:линией уровня ф-и 2 аргументов Z=f(x,y) назыв множ-во точек на плоскости,где значен ф-и одно и тоже и = С.

С-это уровень. Лин ур-ня служит семейство параллельн прямых.Лин ур-ня производственной ф-и-это изокванты.Опр: число А

это предел фции Z=f(x,y) при х→х0 и у→у0 если для любого,даже сколь угодно малого положит числа Σ

найдется полодит число Ϭ (зависящее от Σ) такое,что для всех точек (х,у),отстоящих от точки (х0,у0) на

расстояние Р (при 0<Р<Ϭ) выполняется нер-во |f(x,y)-A|<Σ.Обозначается предел так =A

Опр:ф-я Z=f(x,y) назыв непрер в точке (х0,у0) если она:1) определена в точке (х0,у0) 2) имеет конеч

предел при х→х0 и у→у0 3) этот предел равен значен ф-и в точке (х0,у0),т е =f(x0,y0)

31)Опр:частной произв ф-и неск арг по 1 из этих арг назыв предел отношен соответс частного

приращ ф-и к приращ арг при его стремлен к 0.Обозначается: u ’_x Опр:частным диф-м назыв сумма

произв частных произв этой ф-и на приращения соответствующих независимых прем-х:

dz= z’_x∆x+ z’_y∆y. Полный диф-ал-это линейная,относительно ∆х ∆у часть полного приращения ф-и.

du=d_xu+d_yu.Опр: фция Z=f(x,y) назыв диф-мой в точке (х,у) если ее полное приращен может быть

представлено виде ∆z=dz+α∆x+β∆y. Где dz-диф-ал ф-и, α=α(∆х,∆у), β=β(∆х,∆у)-бесконеч малые при ∆х→0

∆у→0.

33)Опр: точка М(х0,у0) назыв точ макс(мин) ф-и Z=f(x,y) если есть окрестность точки М,такая что для всех точек (х,у) из этой окрестности выполн нер-во f(x0,y0) f(x,y) (f(x0, y0) f(x,y)). Теорема:Необходим услов экстремума:если точка М это точка максим(миним) то частные произ-ные в Этой точке = 0.Теорем:Достотач условие: пусть ф-я Z=f(x,y): а) определена в некоторой окрестности критической точки (х0,у0) в которой f_х ’(x0,y0)=0 и f_у ’(x0,y0)=0 б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка f _xx’’(x0,y0)=A, f _xy’’(x0,y0)=B, f _yy’’(x0,y0)=C,тогда если ∆=АС-В²>0 то в точке (х0,у0) ф-я имеет экстремум,причем если А<0-максимум, А>0-минимум.

34)Опр:произв ф-и u=f(x,y) по направлению L назыв предел отношен приращен ф-и в направлен L к велечине приращения ∆L,при ∆L→0(лист).Опр: Градиентом ф-и u=f(x,y) назыв вектор,коорд которого = част произв ф-и.(grad u). Св-ва градиента:1)Произв ф-и u по зад направл L проекции вектор град на это направл(лист)Вектор град в кажд точке по велич и направл соответсв наиб скорости возраст ф-ии в этой точке

35)Опр: числов рядом назыв выраж вида u1,u2,…,u_n…соединенных знаком сложения:

u1+u2+…+un+…= _n Опр: если есть конеч предел последоват част сумм числового ряда (S1;S2 ,…S_n) то этот предел назыв суммой числового ряда,а ряд назыв сход. Если предел не сущ или обращ в ∞ то ряд расход. Теорема: Необходимый признак сходимости: Если числовой ряд сходится то его предел его общего члена = 0.Св-ва сходящихся рядов:1) если ряд u1+u2+…+un..сходится и имеет сумму S то и ряд αu1+αu2+…+αun (полученный умножением ряда на α) также сходится и имеет сумму αS.2) если ряды u1+u2+…+un и v1+v2+…+vn сходится и их суммы соответственно равны S1 И S2 то и ряд (u1+v1) +(u2+v2)+…+(un+vn) (это сумма данных рядов) также сходится и его сумма равна S₁+ S₂3) если ряд сходится,то сходится и ряд получ из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

36) Теорема: Необходимый признак сходимости:Если числовой ряд сходится то его предел его

общего члена равен 0.Док-во: u1+u2+…+u_n+…= _n_{сходится.} _n=S

Рассмотрим S_n= u1+u2+…+u_n-1+u_n u1+u2+…+u_n-1=S_n-1 Следовательно: u_n=S_n-S_n-1

lim(n→∞)u_n=lim(n→∞)( S_n-S_n-1)=S-S=0.Неох призн сход достат не явл, если

для ряда выполн необх услов сход, то ряд м. сход и расход Примером служ гарм

ряд. Опр:Гарм рядом называют сумму бесконечного количества членов обратных

последовательным числам натурального ряда. Например:1+1/2+1/3+…+1/n. Гармонический

ряд есть ряд расходящийся, т.е. сумма первых n его членов неограниченно растет с ростом

количества взятых членов. Однако в отличие от других расходящихся рядов скорость роста суммы с увеличением

числа членов замедляется. Гармонический ряд называют слабо расходящимся по сравнению с ростом n.

37)Достаточные признаки сходимости знакопол рядов: 1)признак сравнения: пусть

даны 2 ряда с положит членами _n (1) и _n₍₂₎причем члены 1 ряда не

превосходят членов 2,т е:u_n v_n тогда: если сходится (расходится) ряд 2,то сходится (расходится)

и ряд 1; Док-во:пусть сходится _n , U_n- частич сумма 1 ряда, V_n- частич сумма 2 ряда. Т.к

u_n v_n_то, V_n U_n тк2 ряд сходится то lim(n→∞) V_n₌V ; U_n_И V_n возрастающие ,

U_n V_n V то U_n V, U_n-возрастающ огранич сверху. Lim(n→∞) U_n₌ U -1 ряд тоже

сходится.2) признак Даламбера: если есть конеч предел последующего члена законоположит ряда

к предыдущему =L то при L<1 сходится,а при при L>1 расходится,и при

при L=1 признак Даламбера ответа не дает.

38)Опр:ряд называется абсолютно сход,если сходится как сам ряд,так и ряд,составленный

из абсол велечин его членов.Опр:ряд назыв условно сходящимся,если сам ряд сходится,а

ряд составленный из абсолютных велич его членов расход.Опр: под знакочередующимся

рядом понимается ряд,в кот члены попеременно то полож,то отриц:

U₁-U₂+U₃-U₄+…+(-1)ⁿ^-1U_n… где U_n>0.Признак Лейбница:если абсолютный велич

Членов знакочередующ ряда монотонно убывают с ростом номера n и V₁>V₂>…>V_n>V_n₊₁>…

И предел V_n =0 то такой знакочередующийся ряд сходится,по крайне мере условно.

39)Опр:Функциональные ряды-это ряды,членами которых служат фции: V ₁ (х)+ V ₂ (х)+…+

V_n (х)= _n (х). Область определе функционал ряда-это множ-во значений Х при котор

Определены все члены функционал ряда.Область сходимости числового ряда это множ-во знач

Х при которых функционал ряд превращается в сходящийся числовой ряд. S ( X )-это сумма функц

Ряда,которая определена на области сходимости.Опр:стпенной ряд-это ряд вида : а₀+а₁х+

+а₂х²+…+а _n xⁿ +… Область сходимости:совокупность значений,где степенной ряд сходится.

Ее структура устанавливается по теореме Абеля.Опр:Интервал вида (- R ; R ) R 0 внутри которого

Степен ряд сходится,а вне котор расходится назыв интервалом сходимости,а R -радиусом.

Теорема Абеля:Если степенной ряд сходится при х=х1,то этот ряд будет сходится абсолютно при

Всех | x |<| x 1|.Если степенной ряд расходится при х=х2, то он будет расходится при всех | x |>| x 2|

40)Интегрир и диффер степен рядов:в области сходимости степ ряда,степ ряды по отношению к

Оперециям интегрир и диффер-ания ведут себя как обычные многочлены. Степенной ряд можно

почленно интегрировать по любому отрезку [a, b], принадлежащему интервалу сходимости.

В частности, ряд можно почленно интегрировать в пределах от 0 до x, где |x| < R.Ряд Маклорена:

Пусть f ( x ) определена и n раз диф-ема в окрестности точки х=0, разложим ее в степенной ряд:

F ( x )= а₀+а₁х+а₂х²+…+а _n xⁿ +…+ а _n ₊₁ xⁿ ⁺¹ +… Найдем произ-ные фции,почленно диф-руя

Ряд n раз : f ’(x)=0+a₁+2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+…na_nx^n-1+(n+1)a_n+1xⁿ… f ’’=2a₂+

+6a₃x+12a₄x²+n(n-1)a_nx^n-2+n(n+1)a_n+1x^n-1…f ’’’(x)=6a₃+24a₄x+…+

+n(n-1)(n-2)a_nx^n-3+n(n+1)(n-1)a_n+1x^n-2… f⁽ⁿ⁾(x)=n(n-1)(n-2)∙…2a_n+(n+1)…

∙2an+1x… Пусть х =0. Получим f(0)=a₀ f ’(0)=a₁ f ’’(0)=2a₂ f ’’’(0)=3!(a₃) f ⁿ=n!(a_n).

Выразим везде а.и подставим полученное а в f ( x ) : f ( x )= f (0)+ f ’(0) x + f ’’(0)/2! ∙ x ² +

+ f ’’’(0)/3! ∙ x ³ +…+ f ⁽ ⁿ ⁾ / n ! ∙ xⁿ Разложение в ряд . Значения фции и ее произ-ных

в точке x =0 равны: , ,
, , , ,так что ряд

Маклорена принимает вид .Радиус сходимости этого ряда
,то есть ряд абсолютно сходится на

всей числовой оси.

Разложение .Находим: ,
, , ,

, ,
, , ,

.получаем
в котором члены с четными k отсутствуют.По этой причине удобно

положить , .

P азложение .Разложение этой функции в ряд Маклорена проводится аналогично

предыдущему и ряд имеет вид
.

32) Берем фцию u=f(x,y) даем приращение ∆х, попадаем в точку (х+∆х; у) тогда фция u получила

приращение по х (ux).∆ _x u / u -относит изменен фции. ∆ x / x -относит изменен аргумента.Найдем

предел: lim ( x →0) (∆ _x u / u )/ ∆ x / x = lim ( x →0) x ∆ _x u / u ∆ x = x / u lim ( x →0)∆ _x u /∆ x =

= x / u ∙ u ’ x = E_xu . E_xu -эластич фции u по х.Опр:Эластич фции u по х назыв предел отношения

относит изменен фции к соответст относит изменен аргумента.Эластич фции Кобба-Дугласа:

y =α₀ L^α ¹ K^α ²

10) Пусть на плоскости хОу дана кривая уравнением у = f (х). M 0 M 1-секущая.Устремляем

М1 к М0 вдоль кривой М1→М0,секущая крутится вокруг М0,получаем касательную.

Касательной к графику фции в точке с асциссой х0 называют предельное полодение М0М1

при М1→М0 вдоль кривой. Треугол М 0 М 1 А : tgα=AM1/AM0=∆y/∆x=k

M1→M0 отсюда ∆ х →0 α → φ tgα→tgφ

Tgφ=lim(∆x→0)tgα=lim(∆x→0)∆y/∆x=k. Угловым коэф касат назыв предел отношен приращен

фции ∆у к приращ аргумента ∆х при стремлении последнего к 0,если этот предел существует.

Графики:27)

10)

28)Геометрические приложения определенного интеграла:

29) для каждого из 4 пунктов сверху вниз по порядку:

Расшифровка: ξ-пси; ϕ-фи; lim ( x →0)-предел при икс стремиться к 0.(х→0) при написании сносим под lim ,скобки не пишем.

х0-икс нулевое,0 при написании сносим под х,я практически не сносила числовые индексы после букв вниз,потому что очень мелко,вы сносите обязательно. Т.х-точка икс.