Числовые ряды с произвольными членами.
Лекция от 05 .1 1 .
Числовые ряды с произвольными членами.
1)Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
Этот вопрос изложен в разделе 10.5 пособия “Математический анализ” (файл Мат.ан.2013.pdf) – с. 95.
2) Абсолютная сходимость ряда. Связь обычной и абсолютной сходимости.
Этот вопрос изложен в начале следующего раздела того же пособия – раздел 10.6, с. 96 (до Замечания 10.3).
3)Ряды с комплексными членами.
Пусть 
- последовательность комплексных чисел. Каждый член этой последовательности можно представить в алгебраической форме 
. Введем формально ряд 
. Очевидно, частичная сумма этого ряда может быть записана в виде 
. Поэтому естественно определить 
. Таким образом, сходимость ряда с комплексными членами равносильна сходимости двух рядов с вещественными членами – его вещественными и мнимыми частями.
Для ряда с комплексными членами естественно сохраняется необходимое условие сходимости – стремление к 0 при 
его общего члена. Действительно, комплексное число приближается к 0 тогда и только тогда, когда приближаются к 0 его вещественная и мнимая части.
Так же, как в вещественном случае, вводится понятие абсолютной сходимости ряда с комплексными членами. Он называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд с вещественными положительными членами 
(напоминаю, что модуль комплексного числа 
).
Из абсолютной сходимости ряда с комплексными членами следует его сходимость. Действительно, если сходится , то вследствие очевидных неравенств 
и 
по признаку сравнения сходятся ряды 
и 
, то есть ряды 
и 
абсолютно сходятся, а значит сходятся. Это и означает, что сходится ряд .
Пример. Рассмотрим ряд 
. Соответствующий ряд из модулей 
= 
= 
. Получилась сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем <1, этот ряд сходится, поэтому исходный ряд абсолютно сходится, а значит сходится.
На самом деле, данный исходный ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с комплексным знаменателем, модуль которого <1. В этом случае остается справедливой формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
.