При 180о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице, и соответственно результат будет отрицательным.

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 10

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Группа: 23

Дата: 01.10.21 (2 пара)

Дисциплина: Математика

Тема урока: Скалярное произведение векторов.

Преподаватель: Старцева М.С.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цель урока:

Цели

Образовательные:

- изучение скалярного произведения векторов в пространстве;

Развивающие:

- развитие пространственного воображения и логического мышления;

- развитие памяти, математической речи, наблюдательности, развитие графических навыков.

Воспитательные:

- воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний.

1. Организационный этап.

- Здравствуйте. Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока «Угол между векторами. Скалярное произведение векторов».

Ход урока.

-Запишите определение:

Углом между ненулевыми векторами называется угол, образованный при откладывании этих векторов от одной точки.

Обозначение:

- Замечание:

Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0 ° , а если векторы противоположно направлены, то угол между ними равен 180 ° .

- Введем определение скалярного произведения:

Определение:

*Длина вектора (модуль) определяется следующим образом:

Данные формулы необходимо запомнить!!!

Покажем угол между векторами:

Понятно, что он может изменяться в пределах от 0 до 180⁰ (или в радианах от 0 до Пи).

Можем сделать некоторые выводы о знаке скалярного произведения. Длины векторов имеют положительное значение, это очевидно. Значит, знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла между векторами.

Возможны случаи:

1. Если угол между векторами острый (от 0⁰ до 90⁰), то косинус угла будет иметь положительное значение.

2. Если угол между векторами тупой (от 90⁰ до 180⁰), то косинус угла будет иметь отрицательное значение.

*При нуле градусов, то есть когда векторы имеют одинаковое направление, косинус равен единице и соответственно результат будет положительным.

При 180^о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице, и соответственно результат будет отрицательным.

При 90^о, то есть когда векторы перпендикулярны друг другу, косинус равен нулю, а значит и СП равно нулю. Этот факт (следствие, вывод) используется при решение многих задач, где речь идёт о взаимном расположении векторов, в том числе и в задачах входящих в открытый банк заданий по математике.

Сформулируем утверждение: скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы лежат на перпендикулярных прямых.

Итак, формулы СП векторов:

Если известны координаты векторов или координаты точек их начал и концов, то всегда сможем найти угол между векторами:

Свойства:

1. Для любых верно:

2. Для любых и любого действительного числа верно:

3. Для любых и верно:

3. Закрепим новый материал:

Задача№1

Дано:

Задача№2

Дано:

Задача№3

Дано:

Задача№4

- Скалярное произведение определяется также через координаты. Запишите координатный вид скалярного произведения.

Пусть даны векторы:

Тогда их скалярное произведение определяется формулой:

(сумма произведений абсцисс векторов и ординат векторов)

так как:

то через координаты формула нахождения косинуса угла между векторами выглядит следующим образом:

Если векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0

Решим следующую задачу:

Найти скалярное произведение векторов:

4. - Сегодня на уроке мы познакомились с понятием скалярного произведения векторов. Что является скалярным произведением векторов?

- По каким формулам можно найти косинус угла между векторами?

- Как находится абсолютная величина вектора?

5.Задания для закрепления :

Даны четыре точки A (0; 1; -1), B (1; -1; 2), C (3; 1; 0), D (2; -3; 1). Найдите косинус угла ф между векторами AB и CD.

Литература:

Погорелов А.В. Геометрия учеб. для 10-11кл.общеобразовательных учреждений А.В. Погорелов– М.: Просвещение, 2008.

https://vpr-rlass.com/uchebniki/matematika/10-11_klass_pogorelov_uchebnik_chitat_onlajn.html

Ответы предоставить в электронном формате с последующей отправкой на электронную почту: 37 ekaterina 37@ gmail . com