Опр. Вронскианом системы вектор-функций
называется определитель 
го порядка
.
Теорема (о вронскиане системы линейно зависимых вектор-функций).
Пусть вектор-функции 
линейно зависимы на 
. Тогда для 
.
Теорема (о вронскиане системы линейно независимых частных решений ЛОДУ)
Пусть – линейно независимые частные решения системы ЛОДУ 
огда для 
.
Теорема (о структуре общего решения нормальной системы ЛОДУ).
где 
– линейно независимые частные решения системы 
; 
– произвольные постоянные.
Док-во:
1. Покажем, что 
линейно независимых частных решений. Пусть – решения задачи Коши для системы 
с начальными условиями:
для некоторой 
.
линейно независимы, т.к. 
2. Покажем, что произвольное решение задачи Коши для (2.16.2) с начальным условием 
является линейной комбинацией .
Покажем, что заданному начальному условию удовлетворяет вектор-функция
Действительно,
.
Т.е. линейная комбинация 
удовлетворяет заданному начальному условию.
Таким образом любое решение является линейной комбинацией .
Опр. Система 
линейно независимых решений системы называется фундаментальной системой решений (ФСР).
Теорема (о структуре общего решения системы ЛНДУ).
.
2.17.Системы ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для случая вещественных различных корней).
Система ЛОДУ с постоянными коэффициентами:
где 
; 
.
Матричная форма:
Найдем решение вида 
, где 
.
Подставим в 
:
,
т.е. 
- собственное значение матрицы 
; 
– соответствующий собственный вектор.
Опр. Характеристическим уравнением системы ЛОДУ с постоянными коэффициентами 
называется характеристическое уравнение 
, где 
.
Построение ФСР для системы по корням характеристического уравнения.
1. Случай различных действительных корней.
Пусть 
- различные корни характеристического уравнения (т.е. собственные значения матрицы ),
– соответствующие собственные вектора.
Тогда вектор-функции 
образуют ФСР для системы 
.
Док-во: нужно доказать, что частные решения 
линейно независимы.
Вронскиан 
, т.к. собственные вектора 
линейно независимы (как собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям), т.е. столбцы матрицы линейно независимы.
.
Пример.
.
(можно использовать, что для матрицы 2Х2 
Найдем собственные значения.
; собственный вектор 
находим из СЛАУ
,
,
.
; собственный вектор 
находим из СЛАУ
,
.
ФСР: 
,
,
.
2. Случай кратных действительных корней.
Пусть 
- корень характеристического уравнения кратности 
. Ему соответствует решение вида
– многочлен степени 
. Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов.
Пример.
Ищем решение в виде 
Подставим в систему:
Коэффициент при 
в 1-м уравнении: 
Коэффициент при 
в 1-м уравнении: 
Коэффициент при во 2-м уравнении: 
Коэффициент при во 2-м уравнении: 
. Получаем СЛАУ
3. Случай комплексных корней кратности 1.
Пусть 
– корень кратности 1 
. Паре корней и 
соответствуют 2 линейно независимых решения. Пусть 
– комплексный собственный вектор, соответствующий комплексному собственному значению . Он находится из СЛАУ 
.
.
Тогда корням и 
соответствует комплексное решение системы ДУ:
Тогда 
и 
– вещественные линейно независимые решения, соответствующие корням и .
Пример.
, 
Найдем собственный вектор 
соответствующий 
:
,
(второе уравнение пропорционально первому с коэффициентом 
),
,
Литература
1. Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1988.-506 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. VI).
2. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997.- 336 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. VIII).
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. -М., Наука, 1981.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1981.
5. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.:УРСС, 2004.