Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ЛДУ го порядка

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 5

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Пусть непрерывны на . Тогда для точки и решение задачи Коши (2.6.1),(2.6.2), причем оно определено на всем интервале .

Рассмотрим левую часть ЛДУ (2.6.1) и (2.6.1₀) – дифференциальный оператор

.

Покажем, что является линейным оператором, т.е. и , где .

,

Таким образом, – линейный дифференциальный оператор.

Операторная форма ЛДУ:

ЛНДУ:

ЛОДУ:

Линейные однородные ДУ (ЛОДУ) n-го порядка.

Теорема. Множество частных решений ЛОДУ n-го порядка является линейным пространством относительно операций сложения функций и умножения на число.

Док-во. Нужно доказать, что операции сложения частных решений и умножения частных решений на число не выводит из множества частных решений, т.е. сумма частных решений – также решение, произведение частного решения на число – также решение, .

Пусть – решения, тогда , т.е. – решение, , т.е. – также решение. Нулевым вектором в линейном пространстве решений ЛОДУ является функция .

Итак, решения ЛОДУ n-го порядка образуют линейное пространство.

2.7. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского (вронскиан). Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций и о вронскиане системы линейно независимых частных решений ЛОДУ.

Опр. Функции называются линейно зависимыми на , если , не все равные , такие, что

Опр. Если выполнение равенства ( ) на всем интервале возможно только при , то функции называются линейно независимыми на .

Критерий линейной зависимости:

Функции линейно зависимы на для некоторого k=1,….n (т.е. хотя бы одна из функций линейно выражается через остальные).

Пример.

Т.к. , то функции линейно зависимы на

Пусть функции раз дифференцируемы на .

Опр. Определителем Вронского (вронскианом) системы функций называется определитель

.

Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций

Пусть функции линейно зависимы на . Тогда :

Док-во: по определению линейной зависимости функций , не все равные , такие, что . Последовательно продифференцируем это равенство:

Зафиксируем

(2.7.2) – СЛАУ (однородных) относительно , которая имеет ненулевое решение, т.е. определитель системы равен , т.е. ( ).

Замечание. Обратное неверно, т.е. если , то функции могут быть линейно независимы.

Пример.

,

.

Т.е. на , но и линейно независимы, т.к. . Не существует , таких, что для всех .