Задача Коши для ДУ n-го порядка
Найти частное решение ДУ (2.4.1), удовлетворяющее начальным условиям:
где точка 
.
При 
задача Коши имеет вид
,
геометрический смысл: найти интегральную кривую, проходящую через точку 
плоскости 
и имеющую заданный угловой коэффициент касательной 
в т. .
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ n-го порядка
Пусть функция 
и ее частные производные 
непрерывны в области 
. Тогда для 
точки 
, что на интервале 
существует и при том единственное решение задачи Коши.
Рассмотрим следующий вопрос. Пусть для ДУ n-го порядка выполняется условие существования и единственности. При каких 
возможно расположение интегральных кривых (см. рис. 35, 36)?
Рис. 35
| 
Рис. 36
|
(Ответ: соответственно 
|  .)
|
Опр. Общим решением ДУ n-го порядка (2.4.1) называется семейство функций 
, зависящее от произвольных постоянных 
такое, что
1. Для фиксированной 
функция 
является частным решением ДУ (3).
2. Для точки 
такие, что частное решение удовлетворяет начальным условиям (2.4.2).
Краевая задача для ДУ 2-го порядка: найти частное решение на отрезке [ 
, 
] ДУ
удовлетворяющее краевым условиям
Опр. Равенство 
, неявно задающее общее решение ДУ n-го порядка называется общим интегралом ДУ n-го порядка.
2.5. Понижение порядка некоторых типов ДУ высших порядков.
1. 
(ДУ не содержит 
)
Замена 
Получаем для 
ДУ 1-го порядка:
Находим 
. Тогда 
Пример.
Замена 
Получаем для ДУ 1-го порядка:
Замечание.
ДУ 
, сводится к ДУ
2. 
(ДУ не содержит явно 
)
Замена 
. Подставим в ДУ:
ДУ 1-го порядка относительно 
. Решая его, получаем общее решение
.
с разделяющимися переменными
Пример.
.
Замена 
. Подставим в ДУ:
2.6. Линейные ДУ (ЛДУ) n-го порядка: однородные (ЛОДУ) и неоднородные (ЛНДУ). Теорема существования и единственности решения. Линейный дифференциальный оператор. Свойства линейного дифференциального оператора и линейность пространства решений ЛОДУ.
ЛДУ n-го порядка (неоднородное):
Коэффициенты 
и правая часть 
– функции, непрерывные на 
или на 
. Для 
. Разделим на 
. Получим ДУ вида
(2.6.1)– ЛНДУ 
го порядка. Соответствующее ЛОДУ:
Задача Коши для ДУ: найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям:
где 
.