Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пусть функции 
и 
имеют непрерывные производные на [ 
.
Тогда 
, т.е. 
Док-во: 
, т.е. 
Пример.
Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат 
Рис. 6
Теорема. Пусть 
интегрируема на 
, тогда:
1. Если – четная, то 
.
2. Если – нечетная, то 
.
Док-во: 
(по свойству аддитивности) (см. рис. 6).
– для четной функции,
– для нечетной функции.
Пример.
Интегрирование периодических функций.
| Рис. 7 |
Пусть – периодическая с периодом 
, (т.е. 
), интегрируемая на 
Тогда 
и
(см. рис. 7).
1.7. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Несобственные интегралы 1-го рода
Пусть определена на 
и интегрируема на любом отрезке вида 
. Зафиксируем 
и рассмотрим определенный интеграл 
.
Опр. Несобственным интегралом 1 рода функции от 
до 
называется предел при 
определенного интеграла от до 
:
Если 
конечный предел 
, то несобственный интеграл от до называется сходящимся, в противном случае (т.е. если предел равен 
или не существует) – расходящимся.
Геометрический смысл – площадь бесконечной фигуры, ограниченной линиями 
(см. рис. 8).
| Рис. 9 |
Аналогично для функции , определенной на 
по определению
(см. рис. 9).
Свойство линейности.
Если 
, 
сходятся, то сходятся интегралы
.
Аналогично для .
Вычисление несобственного интеграла 1-го рода.
Пусть 
– первообразная для 
на 
, тогда
Таким образом, сходится 
конечный предел первообразной 
Примеры.
, 
Рис. 10
Рис. 11
3. 
Рис. 12
4. 
Исследование несобственных интегралов 1-го рода на сходимость.
| Рис. 13 |
Признаки сходимости:
1. Признак сравнения.
Пусть 
a. Если 
сходится, то 
также сходится (см. рис. 13).
b. Если расходится, то также расходится.
2. Предельный признак сравнения:
пусть для 
и 
при 
, т.е. 
.
Тогда и оба сходятся или оба расходятся.
3. Если сходится 
, то сходится и (обратное неверно!).
В качестве «образцов» интегралов для сравнения обычно используются интегралы
(a>0).
Примеры.
1. 
.
при 
расходится 
исходный интеграл расходится по предельному признаку.
При 
; 
; 
,
; 
интеграл сходится по предельному признаку.
3. 
Т.к. при 
(логарифм растет медленней степенной функции), то 
исходный интеграл сходится по признаку сравнения.
.
– сходится 
сходится по признаку 3.
Несобственные интегралы 2-го рода
| Рис. 14 |
Пусть непрерывна на 
, но не ограничена в левой окрестности точки . Определенный интеграл не существует, т.к. – неограниченная. Рассмотрим 
. Т.к. непрерывна на 
, то 
– определенный интеграл.
Опр. Несобственным интегралом 2 рода по 
от функции , неограниченной в окрестности точки , называется предел
Если существует конечный предел (1.8.2), то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Геометрический смысл:
при 
– площадь фигуры, ограниченной линиями 
(см. рис. 15).
Рис. 15
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой .
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой 
Рис. 16
Свойство линейности.
Если , 
сходятся, то сходятся интегралы
.