Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
Пусть функция 
определена на 
.
Опр. Разбиением 
отрезка называется совокупность точек 
, где 
.
– элементарный отрезок ( 
),
, 
– диаметр разбиения .
Выберем произвольные точки 
| Рис. 1 |
Опр. Интегральной суммой функции , соответствующей разбиению отрезка 
и выбору точек 
( ) называется величина 
(см. рис. 1).
Опр. Определенным интегралом функции на отрезке называется конечный предел при 
интегральных сумм 
, если он существует и не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек .
Обозн.: 
, т.е.
Тогда масса неоднородного стержня: 
; координата точки: 
.
Опр. Если для функции существует , то функция называется интегрируемой (по Риману) на .
Теорема (необходимое условие интегрируемости.)
Пусть функция интегрируема на , тогда ограничена на .
Теорема (достаточное условие интегрируемости 1).
Непрерывная на функция является интегрируемой на 
Теорема (достаточное условие интегрируемости 2).
Пусть 
непрерывна на кроме конечного числа точек разрыва первого рода 
, тогда является интегрируемой на
Геометрическая интерпретация определенного интеграла. 
, непрерывна на
| Рис. 2 |
.
– площадь прямоугольника 
со сторонами 
(см. рис. 2).
– площадь ступенчатой фигуры
При получим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
сверху, осью 
снизу и прямыми 
.
Свойства определенного интеграла
1. Линейность
Пусть функции и 
интегрируемы на Тогда
a. функция 
интегрируема на и 
b. функция 
( 
) интегрируема на и 
Док-во:
a. составим интегральную сумму для функции 
Тогда
b. Аналогично
Тогда
2. Аддитивность (см. рис. 3).
Пусть функция интегрируема на , точка 
, тогда
Док-во:
Рассмотрим разбиение отрезка такое, что 
для некоторого 
. Ему соответствуют разбиения отрезков 
и 
, соответственно, 
и 
| Рис. 3 |
Т.е.
Замечание. Если 
, то по определению 
,
. Тогда равенство (1.4.1) справедливо при любом взаимном расположении точек 
, 
Теорема (об оценке определенного интеграла)
Пусть интегрируема на , 
.
Тогда
.
Док-во: . Т.к. 
, то 
, 
При получим 
| Рис. 4 |
Геометрическая интерпретация:
(площаль криволинейной трапеции заключна между площадьми прямоугольников высотой m и M.) (см. рис. 4).
Следстви e (интегрирование неравенства).
Пусть 
на , тогда 
.
Док-во: рассмотрим функцию 
на . Возьмем 
. По теореме об оценке
Пример.
т.к. 
, то 
. По теореме об оценке 
Теорема (о среднем значении для определенного интеграла).
Пусть непрерывна на . Тогда 
такая, что 
.
Док-во: т.к. непрерывна на , то она достигает на своего наибольшего и наименьшего значений 
, 
По теореме об оценке 
, (равенство возможно только для 
т.е. для непрерывных функций, отличных от константы 
. По теореме о промежуточном значении непрерывной функции: 
. Возьмем 
.
1.5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть интегрируема на . Зафиксируем 
. Рассмотрим определенный интеграл по 
:
– определенный интеграл с переменным верхним пределом (см. рис. 5).
Теорема (о производной интеграла с переменным верхним пределом).
Пусть непрерывна на . Тогда 
| Рис. 5 |
Док-во: 
, где 
При 
, (т.к. 
– непрерывная функция) т.е. 
Следствие: если непрерывна на , то на существует ее первообразная 
. Любая первообразная имеет вид 
.
Пример.
– первообразная для 
(не выражается через элементарные функции, интеграл – неберущийся).
Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть непрерывна на , 
– ее первообразная. Тогда 
.
Док-во: пусть 
– произвольная первообразная. Рассмотрим 
– также первообразная. Тогда 
. Возьмем 
. Т.к. 
, то 
, т.е. 
. При 
: 
или 
:
Пример.
.
1.6. Вычисление определенного интеграла подстановкой и по частям. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат, интегрирование периодических функций.
Пусть непрерывна на , функция 
имеет непрерывную производную на 
, причем 
. Тогда 
.
Док-во: пусть –первообразная для на , т.е. 
. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница: . Функция 
– первообразная для 
, по формуле Ньютона-Лейбница: 
Пример.
