Интегрирование тригонометрических функций.
1. 
, где 
или 
– нечетное натуральное число (например, 
)
Пример.
2. , где 
– четные. Используем формулы понижения степени
Пример.
3. 
где 
(т.е. 
). Используем формулы
Пример.
4. 
. Понижение показателя с использованием формул
Пример.
5. где 
Понижение степени с использованием формул:
и т.д.
Пример.
+c,
Где 
6. 
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
7. 
, где 
.
Подстановка 
.
Пример. 
8. , где 
.
Подстановка 
,
Пример.
Интегрирование иррациональных функций.
I. 
.
Замена 
, 
–общий знаменатель 
(Н.О.К. 
).
Пример.
II. 
Замена 
Пример.
III. 
.
Выделив полный квадрат, получим интеграл одного из видов:
a) 
Замена 
Пример.
b) 
.
Замена 
.
Пример.
c) 
.
Замена 
Пример.
Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции:
( «неберущиеся» интегралы).
1.3. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование неправильных рациональных дробей.
Рациональная дробь
где
Опр. Рациональная дробь 
называется правильной, если 
.
Опр. Рациональная дробь 
называется неправильной, если 
.
Пусть 
– неправильная дробь. Разделим с остатком 
на 
, т.е. представим в виде 
, где 
– многочлен степени 
, степень многочлена 
меньше . Тогда 
, где 
– правильная рациональная дробь.
Пример.
Разложение многочлена на множители. Пусть
Тогда
(1.3.1)
где 
– корни многочлена 
кратности 
соответственно,
.
Пример.
.
Простейшие рациональные дроби.
Опр. Простейшими называют рациональные дроби одного из следующих видов:
1. 
2. 
3. 
4. 
Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших.
Пусть – правильная рациональная дробь, разложен по формуле (1.3.1). Тогда можно представить в виде суммы простейших дробей:
(1.3.2)
– неопределенные коэффициенты.
Пример.
– правильная дробь.
– неопределенные коэффициенты.
Пример (определение коэффициентов).
. (1.3.3)
Найдем 
. Приведем слагаемые в правой части (1.3.3) к общему знаменателю:
Приравняем числители полученной дроби и исходной дроби :
(1.3.4)
Приравняем коэффициенты при 
в (1.3.4):
Приравняем коэффициенты при 
, т.е. 
:
Интегрирование простейших дробей 1-3 типов.
1. 
2. 
3. 
– выделить в числителе производную трехчлена.
Пример.
Интегрирование простейших дробей 4 типа.
Выделим полный квадрат: 
("+ 
", т.к. иначе трехчлен имел бы корни)
Замена 
. Тогда
Рассмотрим 
.
Получим формулу понижения, выражающую 
через 
Пример.
.
.
Алгоритм интегрирования рациональных дробей.
1. Если – неправильная рациональная дробь, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:
2. Представить 
согласно (1.3.2) в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.
3. Найти неопределенные коэффициенты.
4. Проинтегрировать сумму простейших дробей.
1.4. Определенный интеграл, его механический и геометрический смысл, теорема существования. Линейность и аддитивность определенного интеграла.
Задача о массе неоднородного стержня.
Стержень длины 
имеет плотность 
. Найти массу 
.
Разобьем стержень на малые участки: 
Тогда можно считать каждый участок 
однородным, и масса k-го участка
, где 
, 
. Тогда масса стержня
. Перейдя к пределу при 
, получим точное значение массы
Вычисление координаты точки, движущейся с переменной скоростью. Рассмотрим точку, движущуюся по прямой с переменной скоростью 
. Пусть начальная координата точки равна 
. Найти координату точки в момент времени 
.
Разобьем интервал времени 
на малые интервалы:
Считая, что за малый интервал 
скорость не меняется, получаем изменение координаты за этот интервал:
, где 
, 
Тогда 
Точное значение:
