10.1. Найти на отрезке [n,m] натуральное число, имеющее наибольшее количество делителей.
10.2. Дано натуральное число n. Если это не палиндром, реверсируйте его цифры и сложите исходное число с числом, полученным в результате реверсирования. Если сумма не палиндром, то повторите те же действия и выполняйте их до тех пор, пока не получите палиндром. Например, для исходного числа 78 это выглядит так:
78+87=165; 165+561=726; 726+627=1353; 1353+3531=4884.
11.1. Задумано некоторое число x (x<100). Известны числа k, m, n - остатки от деления этого числа на 3, 5, 7. Найти x.
11.2. Пусть дано натуральное число n (запись числа n в десятичной системе счисления есть akak-1...a0). Чему равно выражение
ak-ak-1+ak-2-...(-1)ka0.
12.1. Дано натуральное число n. Проверить, будут ли все цифры числа различными.
12.2. Составьте программу для нахождения всех автоморфных чисел в отрезке [m,n]. Автоморфным называется целое число, запись которого совпадает с последними цифрами его квадрата. Например: 52=25, 62=36, 252=625.
13.1. Найти все целые корни уравнения ax3+bx2+cx+d=0, где а, b, с и d - заданные целые числа, причем a≠0 и d≠0.
Замечание: целыми корнями могут быть только положительные и отрицательные делители коэффициента d.
13.2. Составьте программу, которая проверяет, является ли заданное число совершенным. Совершенным называется натуральное число, равное сумме всех своих делителей (исключая само число). Например: 28=1+2+4+7+14.
14.1. Дано натуральное число n. Поменять порядок следования цифр в этом числе на обратный или сообщить, что это невозможно в силу переполнения.
14.2. Выведите все простые трехзначные числа.
15.1. Найти все делители натурального числа n.
15.2. Заданное натуральное число n представьте в виде суммы различных чисел Фибоначчи. Сколько слагаемых будет входить в эту сумму?
16.1. Натуральное число М называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, включая единицу, но исключая себя. Напечатать все совершенные числа, меньшие заданного числа N.
16.2. Вычислите сумму всех чисел Фибоначчи, которые меньше 1000.
17.1. Натуральные числа a, b, c называются числами Пифагора, если выполняется условие a2+b2=c2. Напечатать все числа Пифагора, меньшие N.
17.2. Для заданного значения x вычислите n-й многочлен Чебышева, если известны следующие соотношения:
T0=1, T1(x)=x, Tn+1(x)=2×Tn(x)-Tn-1(x).
18.1. Дано натуральное число n. Среди чисел 1,...,n найти такие, запись которых совпадает с последними цифрами записи их квадратов.
Пример, 62=36, 252=625.
18.2. Дано натуральное число n. Переставить его цифры так, чтобы образовалось наименьшее число, записанное теми же цифрами.
19.1. Составьте программу, которая по номеру дня в году выводит число и месяц в общепринятой форме (например, 33-й день года - 2 февра-ля).
19.2. Последовательность Хэмминга образуют натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Найти сумму всех элементов с номера N по номер M.
20.1. Долгожитель (возраст не менее 100 лет) обнаружил однажды, что если к сумме квадратов цифр его возраста прибавить число дня его рождения, то как раз получится его возраст. Сколько лет долгожителю?
20.2. Последовательность Хэмминга образуют натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Найти первый элемент, больший данного числа M, а также номер этого элемента в последователь-ности.
21.1. Дано целое n > 2. Напечатать все простые числа из диапазона [2,n].
21.2. Последовательность Хэмминга образуют натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Найти N-й элемент по заданному номеру N.
22.1. Даны натуральные числа n, m. Найти все натуральные числа, меньшие n, квадрат суммы цифр которых равен m.
22.2. Последовательность Хэмминга образуют натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Найти сумму первых N элементов.
23.1. Задано натуральное число n. Найти количество натуральных чисел, не превышающих n и не делящихся ни на одно из чисел 2, 3, 5.