Тема: Структура конечнопорожденных абелевых групп. Структура конечных групп малых порядков.
Лабораторная работа №6
Тема: Структура конечнопорожденных абелевых групп. Структура конечных групп малых порядков.
Основные понятия: внешнее прямое произведение групп; внутреннее прямое произведение подгрупп; структура конечных циклических групп; структура конечнопорожденных абелевых групп; теоремы Силова; описание групп малых порядков.
Задание 1. Указать структуру циклической группы порядка n .
1.1. 36; 1.2. 54; 1.3. 28; 1.4. 98; 1.5. 120; 1. 6. 48;
1.7. 52; 1.8. 64; 1.9. 200; 1.10. 96; 1.11. 150; 1.12. 132 .
Задание 2. Описать (с точностью до изоморфизма) все абелевы группы порядка n . Указать среди них циклические группы.
2.1.100; 2.2. 150; 2.3. 64; 2.4. 132; 2.5. 96; 2.6. 52;
2.7. 48; 2.8. 28; 2.9. 72; 2.10. 120; 2.11. 54; 2.12. 98 .
Задание 3. Разложить в прямую сумму циклических групп фактор-группу 
, где 
- свободная абелева группа со свободной системой образующих 
, 
- ее подгруппа, порожденная элементами 
.Указать структуру групп , , .
3.1. 
3.2. 
3.3. 
3.4. 
3.5. 
3.6. 
3.7. 
3.8. 
3.9. 
3.10. 
3.11. 
3.12. 
Задание 4. С помощью теорем Силова описать все группы порядка n .
4.1. 10; 4.2. 14; 4.3. 22; 4.4. 26; 4.5. 33; 4.6. 35;
4.7. 45; 4.8. 77; 4.9. 175; 4.10. 185; 4.11. 99; 4.12. 39.
Задание 5.
5.4. Доказать, что порядок элемента прямого произведения конечных групп равен наименьшему общему кратному порядков сомножителей.
5.5. Доказать, что если в абелевой группе подгруппы 
и 
имеют взаимно простые порядки, то их сумма является прямой.
5.6. Пусть и - такие подгруппы группы, что 
, 
, и все элементы подгруппы коммутируют с элементами подгруппы . Доказать, что 
.
5.7. Пусть 
, 
. Доказать, что 
.
5.8. Пусть 
, - нормальная подгруппа в 
, - нормальная подгруппа в 
, 
. Доказать, что 
.
5.9. Пусть 
, - нормальная подгруппа в , - нормальная подгруппа в , 
. Доказать, что 
.
5.10. Доказать, что прямое произведение групп является абелевой группой тогда и только тогда, когда каждая из этих групп абелева.
5.11. Доказать, что центр прямого произведения равен прямому произведению центров сомножителей.
5. 12. Найти классы сопряженности прямого произведения групп и , если известны классы сопряженности групп и .