Формула Лиувилля устанавливает связь между вронскианом W(x), построенном на базе частных решений y1(x), y2(x), и коэффициентом a1(x) в дифференциальном уравнении.
Пусть W(x) − определитель Вронского решений y1(x), y2(x) линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка
в котором функции a1(x) и a2(x) непрерывны на отрезке [a,b]. Пусть точка x0 принадлежит отрезку [a,b]. Тогда для всех 
справедлива формула Лиувилля:
Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Пусть 
—не пропорциональные решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Тогда 
есть общее решение этого уравнения.
8. Решение однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решим дифференциальное линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
(Здесь p и q – числа). Ищем решение в виде 
. Эта функция будет решением (1) тогда и только тогда, когда 
– корень уравнения
Уравнение (2) называется характеристическим.
Случай 1. 
.
Тогда уравнение (2) имеет два различных действительных корня 
и 
будет Ф.С.Р. уравнения (1). Тем самым 
-- общее решение дифференциального уравнения (1).
Случай 2. D=0.
Тогда характеристическое уравнение (2) имеет один корень 
и при этом 
. Подставляя в (1) функцию 
, что
и тем самым 
также будет решением, не пропорциональным решению 
, Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид
Случай 3. D<0. Тогда характеристическое уравнение (2) имеет два комплексно сопряженных решения 
( 
. Можно проверить, что 
-- два непропорциональных решения уравнения(1). Отсюда 
-- общее решение.
9. Метод подбора решения неоднородного линейного дифференциального уравнения
Решаем уравнение
где правая часть 
имеет специальный вид, а 
и 
по-прежнему суть числа. Мы применяем теорему, согласно которой общее решение уравнения (3) есть сумма общего решения однородного уравнения
и частного решения (обозначим его 
) уравнения (3). Так как общее решение однородного уравнения мы научились находить, то осталось выяснить в каком виде и как находится какое-либо частное решение неоднородного уравнения (3).
Предположим, что 
есть функция вида 
(здесь 
– многочлен степени n).
Случай а) Число 
не является корнем характеристического уравнения (2).
Тогда частное решение можно найти в виде 
, где 
-- многочлен степени n.
Случай б). Число совпадает ровно с одним корнем характеристического уравнения 
.
Тогда частное решение можно найти в виде 
, где -- многочлен степени n. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, после подстановки 
в уравнение (3), находим коэффициенты многочлена 
.
Случай в). Число -- двукратный корень характеристического уравнения.
Тогда частное решение можно найти в виде 
, где -- многочлен степени n,
Подведем итог и сформулируем вид частного решения, применимый сразу для всех трех случаев а), б), в). Для этого определим число 
– кратность показателя в характеристическом уравнении – число корней (2), с которыми совпадает . По другому, это наибольшее неотрицательное целое число, такое, что 
делит 
Возможные значения суть 0, 1 или 2.
10. Метод вариации постоянных решения неоднородного линейного дифференциального уравнения.
Решаем неоднородное линейное уравнение
вообще говоря с переменными коэффициентами. Предположим, что нам удалось найти Ф.С.Р. однородного уравнения 
, тогда общее решение этого уравнения будет .
Решение уравнения (1) ищем в виде 
, где 
неизвестные функции, подлежащие определению. Имеем
Положим 
(*). Тогда, с учетом этого, вычислим вторую производную:
Подставляя 
и 
в (1), получим
Так как 
, то приходим к уравнению
Вместе с (*), получаем систему, из которой находятся функции интегрированием:
Метод вариации постоянных
Пример 1
Найти общее решение дифференциального уравнения 
(Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка)
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:
На первом этапе необходимо решить более простое уравнение: 
То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо 
пишем ноль.
Уравнение 
я буду называть вспомогательным уравнением.
В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:
Перед нами уравнение с разделяющимися переменными, решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:
Таким образом:
– общее решение вспомогательного уравнения 
.
На втором шаге заменим константу 
некоторой пока ещё неизвестной функцией 
, которая зависит от «икс»:
Отсюда и название метода – варьируем константу 
. Как вариант, константа 
может быть некоторой функцией 
, которую нам предстоит сейчас найти.
В исходном неоднородном уравнении 
проведём замену:
По правилу дифференцирования произведения:
Подставим и 
в уравнение 
:
Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются. Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.
В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.
Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:
К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу 
:
На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену: 
Функция только что найдена!
Таким образом, общее решение:
Ответ: общее решение: 
11. Линейные системы дифференциальных уравнений. Решение линейной системы с постоянными коэффициентами.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
где aij(x) и bi (x) — известные, а yj (x) — неизвестные функции, (i = 1,2, … ,n, j = 1,2, … , n) называется линейной системой дифференциальных уравнений.
При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной (матричной) формой записи. Обозначим
Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной (матричной) форме записывается в виде Y' = A(x)Y + b(x) или, что то же самое, в виде
