Глава II. Вычисление характерных величин для простых поверхностей
2.1 Сфера
Сфера задана вращением окружности радиуса R в плоскости xoz вокруг оси OZ : 
Реализацию программы построения сферы в криволинейных координатах можно увидеть в приложении А.
Тогда используя формулу (2) и (3) получим параметризацию сферы (см. рис.3):
Рисунок 3 – Криволинейные координаты сферы
Найдем координатные векторы 
и 
по формуле (10):
Далее найдем коэффициенты E , F , G первой квадратичной формы:
Таким образом, первая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:
Найдем координатные векторы 
по формуле (10):
Для нахождения коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы необходимо найти единичный вектор нормали 
:
Найдем коэффициенты L, M, N второй квадратичной формы:
Таким образом, вторая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:
Найдем среднюю кривизну:
Найдем гауссову кривизну:
В данном случае, гауссова кривизна всегда больше 0, поэтому можно сделать вывод по одному из свойств гауссовой кривизны, что поверхность является двояковыпуклой, что является верным утверждением по отношению к сфере.
2.2 Цилиндр
Параметризация (см. рис.4) цилиндра с окружностью радиуса а в основании: 
Реализацию программы построения цилиндра в криволинейных координатах можно увидеть в приложении B.
Рисунок 4 – Криволинейные координаты цилиндра
Найдем координатные векторы и по формуле (10):
Далее найдем коэффициенты E , F , G первой квадратичной формы:
Таким образом, первая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:
Если выбрать значение а=1, то матрица превратится в единичную. Это указывает на то, что цилиндр можно разрезать и аккуратно разложить на плоскости (длины на цилиндре ведут себя точно также, как на плоскости).
Найдем координатные векторы по формуле (10):
Для нахождения коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы необходимо найти единичный вектор нормали :
Найдем коэффициенты L, M, N второй квадратичной формы:
Таким образом, вторая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:
Найдем среднюю кривизну:
Найдем гауссову кривизну:
В данном случае (K =0) можно сделать вывод, что перед нами цилиндрическая поверхность и гауссова кривизна цилиндра всегда равна 0.
2.3 Конус
Параметризация конуса (см. рис.5) выглядит следующим образом: 
Реализацию программы построения цилиндра в параметрических координатах можно увидеть в приложении C.
Рисунок 5 – Криволинейные координаты конуса
Найдем координатные векторы и по формуле (10):
Далее найдем коэффициенты E , F , G первой квадратичной формы:
Таким образом, первая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:
Найдем координатные векторы по формуле (10):
Для нахождения коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы необходимо найти единичный вектор нормали :
Найдем коэффициенты L, M, N второй квадратичной формы:
Таким образом, вторая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:
Найдем среднюю кривизну:
Найдем гауссову кривизну:
Так как перед нами представлен конус, то его гауссова кривизна будет всегда равна 0.