ЭЛЕМЕНТЫ дифференциальнОЙ геометриИ поверхностей
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Мурманский АРКТИЧЕСКИЙ государственный университет»
(ФГБОУ ВО «МаГУ»)
Факультет математики, экономики и информационных технологий
Кафедра Математики, физики и информационных технологий
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине «Математический анализ»
ЭЛЕМЕНТЫ дифференциальнОЙ геометриИ поверхностей
Выполнила:
Швец Екатерина Михайловна,
студентка 2 курса направления подготовки
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» очной формы обучения
Научный руководитель:
Кацуба Валентина Сергеевна, к.ф.-м.н., доцента, доцент кафедры физики, информатики и ИТ
Мурманск
2018 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. 3
Глава I. СВЕДЕНИЯ ИЗ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.. 5
1.1 Криволинейные координаты и радиус вектор, параметризация поверхности. 5
1.2 Длина дуги, первая квадратичная форма. 7
1.3 Вторая квадратичная форма. 8
1.4 Нормальные кривизны, гауссова кривизна. 11
Глава II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРНЫХ ВЕЛИЧИН ДЛЯ ПРОСТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.. 13
2.1 Сфера. 13
2.2 Цилиндр. 16
2.3 Конус. 18
Глава III. ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ХАРАКТЕРНЫХ ВЕЛИЧИН ДЛЯ СЛОЖНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.. 21
3.1 Тор. 21
3.2 Геликоид. 24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 27
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 28
ПРИЛОЖЕНИЯ.. 30
ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальная геометрия поверхностей – это раздел математики, который изучает поверхности методами дифференциальной геометрии. При этом поверхности, которые исследуются, обычно подчинены условиям, связанным существованием в каждой точке поверхности определенных кривизн, внутренних точек и т.д.
Тема «Элементы дифференциальной геометрии поверхностей» уникальна тем, что в настоящее время поверхности играют особую роль в жизни человека. Большинство окружающих нас предметов можно представить в виде поверхностей. Трудно представить себе область науки или производства, где не используют поверхности. Поверхности используются во многих сферах человеческой деятельности: строительстве, судостроении, ракетостроении и т.д. Сложные поверхности представляют собой арки мостов, корпуса кораблей, крыши зданий. Все вышеперечисленное требует знания различных свойств этих поверхностей, чтобы упростить работу с ними и, например, сделать поверхности более крепкими и устойчивыми. Поэтому изучение элементов теории дифференциальной геометрии поверхности является актуальным для профессиональной подготовки по специальности «прикладная математика и информатика».
Основная цель данной курсовой работы состоит в исследовании некоторых свойств поверхностей средствами дифференциальной геометрии. Объектом курсовой работы являются элементы дифференциальной геометрии поверхностей.
Предмет курсовой работы – параметризация поверхностей с помощью внутренних криволинейных координат, первая и вторая квадратичные формы поверхности, нормальная и Гауссова кривизна.
Для достижения цели курсовой работы были решены следующие задачи: проведены поиск, изучение и систематизация основных теоретических фактов, связанных с дифференциальной геометрией поверхности: параметризация поверхностей с помощью внутренних криволинейных координат, первая и вторая квадратичные формы поверхности, средняя и гауссова кривизна; рассмотрены приложения изученных теоретических фактов к следующим поверхностям: сфера, конус, цилиндр, тор, геликоид.
Данная курсовая работа содержит: введение, три главы, заключение, список использованных источников, три приложения.