Глава 1. Постановка основной задачи линейного программирования

Дата: 2025-05-01; Просмотры: 23

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

1.1. Линейное программирование

Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием. Такие задачи находят обширные приложения в различных сферах человеческой деятельности. Систематическое изучение задач такого типа началось в 1939 – 1940 гг. в работах Л.В. Канторовича.

К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:

· задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

· задача о смесях (планирование состава продукции);

· задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или);

· транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Линейное программирование – наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

· математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

· данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

· многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

· некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

целевая функция

(1.1)
при ограничениях

(1.2)
требования неотрицательности

(1.3)
где x_j – переменные (неизвестные);

- коэффициенты задачи линейного программирования.

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1.1) при соблюдении ограничений (1.2) и (1.3).

Систему ограничений (1.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (1.3) - прямыми.

Вектор, удовлетворяющий ограничениям (1.2) и (1.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным.

1.2. Симплекс метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод был разработан и впервые применен для решения задач в 1947 г. американским математиком Дж. Данцигом.

Двумерные задачи линейного программирования решаются графически. Для случая N=3 можно рассмотреть трехмерное пространство и целевая функция будет достигать своё оптимальное значение в одной из вершин многогранника.

Допустимым решением (допустимым планом) задачи ЛП, данной в стандартной форме, называется упорядоченное множество чисел (х1, х2, …, хn), удовлетворяющих ограничениям; это точка в n-мерном пространстве.

Множество допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР) задачи ЛП. ОДР представляет собой выпуклый многогранник (многоугольник).

В общем виде, когда в задаче участвуют N-неизвестных, можно сказать, что область допустимых решений, задаваемая системой ограничивающих условий, представляется выпуклым многогранником в n-мерном пространстве и оптимальное значение целевой функции достигается в одной или нескольких вершинах.

Базисным называется решение, при котором все свободные переменные равны нулю.

Опорное решение — это базисное неотрицательное решение. Опорное решение может быть невырожденным и вырожденным. Опорное решение называется невырожденным, если число его ненулевых координат равно рангу системы, в противном случае оно является вырожденным.

Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным и обозначается .

Решить данные задачи графически, когда количество переменных более 3 весьма затруднительно. Существует универсальный способ решения задач линейного программирования, называемый симплекс-методом.

Симплекс-метод - это универсальный метод решения задач ЛП, представляющий собой итерационный процесс, который начинается с одного решения и в поисках лучшего варианта движется по угловым точкам области допустимых решений до тех пор, пока не достигнет оптимального значения.

С его помощью можно решить любую задачу линейного программирования.

В основу симплексного метода положена идея последовательного улучшения получаемого решения.

Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений к соседней, в которой целевая функция принимает лучшее (или, по крайней мере, не худшее) значение до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение - вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум).

Таким образом, имея систему ограничений, приведенную к канонической форме (все функциональные ограничения имеют вид равенств), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще. Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению. Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении целевая функция, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему (или, по крайней мере, не удалится от него). С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не отыщется решение, которое является оптимальным.

Процесс применения симплексного метода предполагает реализацию трех его основных элементов:

1. способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи;

2. правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;

3. критерий проверки оптимальности найденного решения.

Симплексный метод включает в себя ряд этапов и может быть сформулирован в виде четкого алгоритма (четкого предписания о выполнении последовательных операций). Это позволяет успешно программировать и реализовывать его на ЭВМ. Задачи с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную.

1.3. Двойственная задача линейного программирования

С каждой задачей линейного программирования можно некоторым образом сопоставить другую задачу ЛП, называемую двойственной по отношению к исходной (прямой).

Под двойственной задачей понимается вспомогательная задача линейного программирования, формулируемая с помощью определённых правил непосредственно из условий прямой задачи. Заинтересованность в определении оптимального решения прямой задачи путём решения двойственной к ней задачи обусловлена тем, что вычисления при решении ДЗ могут оказаться менее сложными. Трудоёмкость вычислений при решении ЗЛП в большей степени зависит от числа ограничений, а не от количества переменных.

Дадим определение двойственной задачи по отношению к прямой задаче линейного программирования, состоящей, в нахождении максимального значения функции

функции

f =c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_nx_n→max (1.4)

при условиях:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+ a_1nx_n ≤ b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +…+ a_2nx_n ≤ b₂

… (1.5)

a_m1x₁ + a_m2x₂ +…+ a_mnx_n ≤ b_m

x_j ≥ 0 (j = 1, 2,… m , m ≤ n).

Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции

f*=b₁y₁ + b₂y₂ +…+ b_my_m→min (1.6)

при условиях:

a₁₁y₁ + a₁₂y₂ +…+ a_m1y_m ≥ c₁

a₁₂y₁ + a₂₂y₂ +…+ a_m2y_m ≤ c₂

… (1.7)

a_1ny₁ + a_2ny₂ +…+ a_mny_m ≤ c_m

y_i ≥ 0 (i = 1, 2, … k ≤ m)

называется двойственной по отношению к задаче (1.4) – (1.5). Задачи (1.4) – (1.5) и (1.6) – (1.7) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой. Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:

Целевая функция исходной задачи задается на максимум, а целевая функция двойственной– на минимум.

1. Матрица

(1.8)

2. составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (1.5) исходной задачи, и аналогичная матрица

(1.9)

в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием (т. е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками).

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в системе (1.5) исходной задачи, а число ограничений в системе (1.7) двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (1.6) двойственной задачи являются свободные члены в системе (1.5) исходной задачи, а правыми частями в соотношениях системы (1.7) двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции (1.4) исходной задачи.

5. Если i–е соотношение в системе (1.5) исходной задачи является неравенством, то j–я переменная двойственной задачи y_j ≥ 0. В противном случае переменная у_j может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения (1.5) прямой задачи и соотношения (1.7) двойственной задачи являются неравенствами вида “ ”. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.

Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения (1.5) прямой задачи и соотношения (1.7) двойственной задачи являются неравенствами вида “ ”. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.

Если одна из задач двойственной пары (1.4) – (1.5) или (1.6) – (1.7) имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план, и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т. е. f max = f*min.

Если же целевая функция одной задачи из двойственной пары неограниченна (для исходной – сверху, для двойственной – снизу), то другая задача вообще не имеет планов.