Систематизація та узагальнення
Шановний старшокласнику!
Науково-технічний прогрес досить стрімко змінює характер існуючих професій та приводить до появи нових, які більшою мірою вимагають уважності, кмітливості і швидкості реакції працюючих. Особливо це стосується природничо-математичної та фінансово-економічної діяльностей. Іншими словами, найважливішим завданням навчання стає виховання логіки мислення, засвоєння загальних методів наукового дослідження.
Звичайно, розв’язання цієї проблеми значною мірою залежить від стану засвоєння математики. Тому математика – базова дисципліна. Вона – основа для успішного вивчення і засвоєння багатьох спеціальних дисциплін у різних галузях.
Пропонуємо тобі новий підручник «Геометрія. 10 клас», який містить навчально-практичний матеріал вивчення оточуючого нас реального світу, адже геометрія, як наука, один із специфічних засобів його відображення. Даний підручник написано у відповідності з програмою, яка рекомендована Міністерством освіти і науки України для академічного профілю.
Ти уже знаєш, що шкільний курс геометрії розділено на 2 частини: планіметрію (7 – 9 класи) та стереометрію (10 – 12 класи). Цей підручник є початком вивчення стереометрії – науки, яка вивчає фігури і їх властивості у просторі. Він складається з 7 модулів, структура яких є однаковою: назва модуля, його короткий зміст та характеристика цілей вивчення; виклад теоретичного матеріалу зі зразками розв’язання; вправи для закріплення, складені в чотирьох рівнях складності; задачі прикладного змісту; історичний матеріал під рубрикою «Із літопису геометрії»; запитання для самоконтролю; тест для самоконтролю.
Зразки розв’язання задач мають додаткове пояснення у формі «Чому саме так?». Це допоможе тобі орієнтуватися в змісті задачі та вибирати спосіб її розв’язування.
Модулі 1 і 7 є матеріалом для узагальнення та систематизації відповідних курсів планіметрії та вивченого у 10 класі. Тому виклад їх теоретичного матеріалу носить більш інформаційний характер, ніж всі інші модулі. Для швидкого орієнтування та зручності в користуванні підручником, ми ввели подвійну нумерацію задач: перша цифра визначає номер модуля, крапка відділяє номер модуля від порядкового номера задачі (1.11°). щоб розрізнити рівень складності задач початкового, середнього, достатнього і високого рівня, ми ввели відповідні позначки: «°», «°°», «·», «··». У більшості випадків, задачі початкового та середнього рівнів, ми пропонуємо у тестовій формі. Такі задачі можна виконувати усно або письмово. Однак, рекомендуємо тобі проводити тренінги з включеним таймером часу. Тоді ми впевнені, що твої знання та компетентність будуть підвищуватися.
Запитання та тести самоконтролю дозволять тобі повторити та закріпити вивчене в модулі, підготуватися до певного виду контролю. Окрема рубрика «Задачі прикладного змісту» ми наводимо або з вказівками, або з повним розв’язанням. Сподіваємося, що життя складатиме тобі нові задачі, але твої знання, набуті в школі, дозволять їх завжди розв’язувати якісно.
Рубрика «Із літопису геометрії» вміщає історичний розвиток геометрії в Стародавній Греції, Єгипті, Азії, Європі тощо. Якщо тебе зацікавить така історія геометрії, то, очевидно, ти зрозумів, що геометрія є наукою не штучною, а – природною і необхідною для життя. Вона виникла з потреб людини. Геометрія – це практика, логіка, фантазія! За словами М.В. Ломоносова: «Геометрія – правителька всіх розумових пошуків». Бажаємо тобі успіхів у нелегкій праці – навчанні.
З повагою автори: Ольга Біляніна, Григорій Білянін, Василь Швець
Систематизація та узагальнення
фактів і методів планіметрії
Геометрія – наймогутніший засіб розвитку наших розумових здібностей
який надає спроможність вірно мислити і розмірковувати
Г. Галілей
Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії
Ø Про логічну побудову планіметрії
Ø Основні поняття геометрії
Ø Аксіоми планіметрії
Ø Опорні факти курсу планіметрії (довідник та практика)
ü Взаємне розміщення прямих на площині
ü Коло і круг
ü Многокутники
ü Трикутник та його елементи
ü Опуклі чотирикутники
Ø Задачі і методи їх розв’язування
ü Алгебраїчні методи
ü Геометричні методи
 |
Ø Як розрізняють означувані і неозначувані поняття
Ø Які поняття вибирають за основні
Ø Як аксіоми впливають на подальшу побудову геометрії
Ø Яка роль теорем при складанні комплексної характеристики геометричної фігури
Ø Як коротко скласти відомості про вивчений курс планіметрії
Ø Які факти курсу планіметрії можуть бути опорними
Ø Як відрізнити властивість геометричної фігури від її означення
Ø Як умовно поділяють методи розв’язування геометричних задач
Ø Які теоретичні знання потрібні для розв’язування нескладних геометричних задач.
§ 1. 1 . Про логічну побудову планіметрії. Основні поняття. Аксіоми планіметрії.
У навколишньому світі нас оточують різні предмети, кожен з яких має багато характеристик: колір, твердість, хімічний склад, розміри, просторові форми і т. д.. Наприклад, круг, з радіусом 10 см, можна вирізати з металевого листа або з паперового аркуша. Зрозуміло, що обидва предмети мають і однакові характеристичні властивості, і різні. Щоб вивчити всі властивості того чи іншого предмету у школі вивчаються різні шкільні дисципліни. Якщо порівнювати вище названі предмети за просторовими формами та кількісними характеристиками, то ці фігури однакові – два круги, радіуса 10 см. Шкільні дисципліни, які вивчають просторові форми і кількісні характеристики предметів і явищ навколишнього середовища відносяться до математичних – алгебра і геометрія. Геометрія – це наука про просторові форми і кількісні характеристики предметів реального світу.
Інші характеристики предметів навколишнього середовища вивчають інші шкільні дисципліни. Якщо в предметі реального світу, під час вивчення, відмежуватись від його характеристик, окрім просторових форм та кількісних вимірів, то отримаємо абстрактний об’єкт, який називають геометричною фігурою.
Слово «геометрія» – грецьке, що у перекладі на українську мову означає землемірство (назва походить від вимірювань на місцевості). Геометрія, яку вивчають у школі, називається евклідовою за ім’ям давньогрецького вченого Евкліда (див. рубрику «Із літопису геометрії» до Модуля 1). Шкільна геометрія складається із двох частин: планіметрії і стереометрії. З першою частиною геометрії (відомою під назвою планіметрія) ви ознайомились в основній школі, а з другою(стереометрія) – будете знайомитись в старших класах.
Планіметрія – це розділ геометрії, в якому вивчаються геометричні фігури на площині. Стереометрія – це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури в просторі.
На рисунку 1.1 зображено різні геометричні фігури на площині.
 |
Трикутник Коло Чотирикутник Многокутник
Рис. 1.1.
Геометричні фігури – це абстрактні фігури, які виражають просторові форми і нагадують нам предмети, що нас оточують. Щоб відрізняти одну геометричну фігуру (чи поняття) від іншої, їх описують у вигляді твердження, яке називають означенням.
Означення – це твердження, які описують характеристичні властивості предмета (поняття), що дають змогу відрізнити його від інших. Як виявилось, означити всі геометричні фігури неможливо. Наприклад, точка, пряма, площина. Їх називають неозначуваними або початковими (з яких все починається), або основними, як називали їх у планіметрії .
Логічну побудову планіметрії можна описати за такими етапами.