1 2 / 2 2

Действия над векторами

Дата: 2025-06-15; Просмотры: 11

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Рассмотрим основные действия, определённые над векторами.

1. Сложение векторов. Суммой векторов называют вектор , который соединяет начало вектора с концом вектора , при условии, что вектор отложен от конца вектора . Такой способ сложения векторов называют правилом треугольника.

Учитывая, что , то найти сумму векторов можно также по так называемым "правилом параллелограмма" (рис. 3)

Вычитание векторов сводится к сложению противоположного вектора

Запишем основные свойства действий сложения векторов:

Заметим, что сумма нескольких векторов находится последовательным сложением двух из них, например:

Геометрически сумма нескольких векторов находится их последовательным отложением один за одним так, чтоб начало следующего совпадало с концом предыдущего. Суммой является вектор, который будет соединять начало первого с концом последнего (рис. 4). Если такая последовательность векторов даёт замкнутую ломаную то суммой векторов является (рис. 5).

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число называют вектор , для которого выполняются условия:

а) ;

б) , причём сонаправленные если противоположно направленные, если . Отсюда, очевидно, что необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов является соотношение .

Запишем основные свойства действий умножения вектора на число:

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением или векторов и называют выражение , где угол, который образуют векторы. Отметим, что углом между векторами считают угол между их направлениями. Если хотя бы один из векторов равен , то их скалярное произведение считают равным нулю.

Очевидно, что скалярное произведение двух ненулевых векторов будет равно нулю тогда и только тогда когда эти вектора перпендикулярны (ортогональны). Действительно, если . Но , следовательно,